アポセム：定義、公式、例と用途

主な性質と定義

アポセムには、互いに同値な複数の説明がある。具体的には、次のいずれにも当たる。

• 正多角形の中心から任意の辺までの垂直距離
• その多角形に内接する円の半径（内接半径）
• 中心と各頂点を結んで得られる合同な二等辺三角形それぞれの高さ

これらの関係により、アポセムは面積の計算、ならびに辺の長さ、外接半径、中心角の関係を扱う際に特に有用となる。

公式と計算

辺の数を n、辺の長さを s、アポセムを a、外接半径（中心から頂点までの距離）を R、周長を P（P = n・s）とする。主な公式は次のとおりである。

• a = s / (2 tan(π / n)) — 辺の半分、アポセム、および半径ベクトルで構成される直角三角形から導かれる。
• a = R・cos(π / n) — アポセムと外接半径の関係を表す。
• 面積 A = (1/2)・a・P = (1/2)・a・n・s — 高さ a をもつ n 個の二等辺三角形の面積を合計して得られる。

これらの公式により、辺の長さまたは外接半径からアポセムを直接計算でき、アポセムと多角形の面積との関係も示される。

例と特殊な場合

いくつかの単純な正多角形では、よく知られたアポセムの値が得られる。

• 正三角形（n = 3）：a = s / (2√3) = s・√3/6
• 正方形（n = 4）：中心は各辺から等距離にあるため、a = s / 2
• 正六角形（n = 6）：中心の周りで六つの正三角形に分割できるため、a = (√3 / 2)・s

これらの値はすべて、一般式 a = s / (2 tan(π / n)) から直接導かれる。

歴史、用語と関連する用途

「アポセム」という用語は、正多角形の内接半径を表す語として、ユークリッド幾何学で長く用いられてきた。古典的な作図では、微積分や座標法が一般的になる以前に、その値が面積計算に役立てられた。三次元の文脈では、この語は正錐体の説明にも現れる。側面アポセム、すなわち斜高は、底面の中心から底面の一辺の中点まで、側面に沿って測った距離である。「内接半径」は密接に関連する同義語であるが、「アポセム」は辺に対する垂線分であることを強調する。

区別と実用上の重要性

すべての辺に共通する、明確に定義された一つのアポセムをもつのは正多角形だけである。不規則な多角形には、一般にそのような合同な内部垂線は存在しない。アポセムは、面積計算、規則的な形状の設計、辺の長さと内接円の大きさの換算を行う際に、工学、敷き詰め、コンピュータグラフィックスで特に役立つ。周長、面積、外接に関する幾何学を結び付けるため、アポセムは初等幾何学と応用幾何学の基本概念であり続けている。