円弧（幾何学）— 定義、種類、弧の長さ

定義と記法

円周上の2点A、Bによって定まる円弧は、一般に「弧AB」と呼ばれる。手書きおよび印刷された数式では、2文字の上に小さな曲線記号を付けて表すことが多い（「弧AB」と読む）。点AとBは、弦AB（両点を結ぶ直線の線分）と、その円弧に対する中心角、すなわち円の中心からAおよびBへ引いた半径がなす角も定める。

性質と公式

円弧の長さは、円の半径rと、それに対する中心角θの大きさによって決まる。θをラジアンで測るとき、弧の長さsは簡潔な関係式 s = r・θ で与えられる。θが度で与えられる場合は、θ（ラジアン）= π・θ°/180 と変換できるため、長さは s = π・r・θ°/180 となる。弧の長さは中心角および半径に比例する。

種類と関連する部分

円弧は、円に対する大きさによって分類される。

• 劣弧：2点間を結ぶ短い方の円弧（中心角が180°未満）。
• 優弧：同じ2点を結ぶ長い方の円弧（中心角が180°より大きい）。
• 半円：直径の両端を端点とする円弧（中心角180°）。

このほか、関連する領域には、2本の半径と円弧に囲まれた扇形、ならびに円弧とその弦の間の領域である弓形がある。

歴史と応用

円弧は古典幾何学および三角法の基本的な概念であり、古代ギリシア数学の時代から円の理論の一部として研究されてきた。今日では工学、建築、コンピュータグラフィックス、航法に広く用いられる。円弧は曲がった梁やアーチをモデル化し、歯車や車輪の経路を定め、作図ツールやCADツールでも利用される。実用的な計算では、通常は s = r・θ の関係式を用いるか、形状が完全な円でない場合には数値近似を用いる。

重要な事実と区別

弧の長さを扱う際には、単位と角度の測り方を明示することが重要である。端点が直径の両端である場合を除き、同じ端点の組は劣弧と優弧という2つの異なる円弧を定める。円以外の曲線を形式的に扱う場合、「弧」という語は任意の連続した曲線部分を指すことがあるが、標準的なユークリッド幾何学では、最も多くの場合に円弧を意味する。円および関連する作図については、円を参照。