正弦定理（サインの法則）とは？三角形の辺と角を求める公式・証明・曖昧性

正弦定理（サインの法則）とは？三角形の辺と角を求める公式の導出・証明、数値誤差や曖昧性の対処法まで図解でわかりやすく解説

著者: Leandro Alegsa

10-01-2026 16:17

サインの法則は数学の定理で、三角形の辺と角の間に成り立つ関係式を与えます。図のような三角形について、次の等式が成り立ちます。

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!$

別の表現として、角の正弦を辺で割った形でも書けます（等価な式です）。

${\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!$

Dは三角形の外接円の直径に等しく、通常は直径を 2R と表して a / sin A = 2R という形でも書きます。

定理の意味と使い方

サインの法則は、例えば「2つの角とそれらに挟まれない1辺（SSA）の情報」や「1つの角と2つの辺（SAS ではない）」が分かっているときに、残りの辺や角を求めるのに使います。具体的には

b = a · (sin B / sin A)
c = a · (sin C / sin A)
または、a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C

証明（代表的な2通り）

1. 外接円を使う方法（円に関する幾何）
三角形をその外接円に入れると、辺 a は角 A に対する弦（chord）になります。弦の長さの性質から、弦の長さ = 2R sin(対応する中心角/2) になり、三角形の内角 A に対応して a = 2R sin A が成り立ちます。同様に b = 2R sin B, c = 2R sin C となるため、a/ sin A = b/ sin B = c/ sin C = 2R が得られます。

2. 面積を使う方法
三角形の面積を Δ とすると、Δ = (1/2) b c sin A = (1/2) c a sin B = (1/2) a b sin C が成り立ちます。これらを整理すると、sin A / a = sin B / b = sin C / c となり、さらに外接円の半径 R と結び付ければ a / sin A = 2R が導けます（Δ = abc / (4R) の式を用いる）。

曖昧性（SSA の場合）

与えられ方によっては、サインの法則を使うと角に対して2つの解が得られる場合があります。これを「曖昧な場合（ambiguous case）」と呼びます。標準的な判定は次のようになります（角 A とそれに対する辺 a、隣接する既知の辺を b とする場合）。

h = b sin A を高さとする。
もし a < h なら：三角形は作れない（解なし）。
もし a = h なら：直角三角形が1つだけ（1解）。
もし h < a < b なら：鋭角の解と鈍角の解、合計2つの三角形（2解）。
もし a ≥ b なら：1つの三角形（1解）。

これは、sin θ の値 x に対して θ と (180°−θ) の両方が同じ正弦値を持つことに由来します。そのため arcsin を使って角を求めるときに注意が必要です。

数値的注意点

角度を arcsin で逆算する際、θ が 90° に近い場合は数値的不安定さが生じやすいです。というのも d(arcsin x)/dx = 1 / cos θ であり、θ → 90° のとき cos θ → 0 になり、x の小さな誤差が角度の大きな誤差に拡大されます。
誤差を抑えるには、可能なら余弦の法則（cosine rule）を使うか、三角関数の値の取り扱いに注意して適切な精度の関数を使ってください。

簡単な計算例

例：角 A = 30°, 角 B = 45°, 辺 a = 10 とする。まず a / sin A = 10 / sin30° = 10 / 0.5 = 20。これが共通量なので、b = 20 · sin45° = 20 · (√2/2) ≒ 14.142、同様に c = 20 · sin C（ただし C = 180° − A − B = 105°）で計算できます。

証明

どのような三角形の面積Ｔ {\displaystyle T $T$ } は、その底辺の半分に高さをかけたもの（底辺にない頂点から描く）として書くことができる。どの辺を底辺にするかによって、面積は次のように与えられる。

T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) .♪♪displaystyle T={\frac {1}{2}b(c\sin A)={\frac {1}{2}c(a\sin B)={\frac {1}{2}a(b\sin C)A}, .} $T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.$

これに２／ａｂｃを $2/abc$ 乗算すると

2 T a b c = sin A a = sin B b b = sin C c .♪♪displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}},.} ${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.$

質問と回答

Q:ブルーローとは何ですか?

A:正弦の法則とも呼ばれ、写真のような三角形があれば、その方程式が成り立つという数学の定理のことです。

Q:この式は何を表しているのですか?

A: この式は、各辺の長さとその反対側の角の正弦の比が等しいことを表しています。

Q:どのように使うのですか?

A:正弦定理は、2つの角と1つの辺がわかっているときに、三角形の残りの辺を求めるために使うことができます。また、2つの辺と、その2つの辺が囲んでいない1つの角がわかっている場合にも使えます。

Q:あいまいな場合はどうなるのでしょうか?

A: 計算式では、含まれる角度に2つの可能な値が示される場合があります。これを曖昧なケースといいます。

Q:他の三角関数と比較してどうですか?

A: 正弦の法則は、三角形の長さと角度を求めるために使われる2つの三角形の方程式のうちの1つです。もうひとつは、コサインの法則である。

Q:Dの値は?A: Dは三角形の外周の直径に相当します。

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