正弦定理

サインの法則は数学の定理です。写真のような三角形があれば、下の式が真であるということです。

a sin A = b sin B = c sin C = D ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪} ${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!$

これは別バージョンですが、これも事実です。

sin A a = sin B b = sin C c c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}, = "C"c {\\\\,Everyone,Everyone,Everyone,Everyone,Everyone,Everyone,Everyone,Everyone,Everyone,Everyone}!} ${\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!$

Dは三角形の円周の直径に等しい。

正弦の法則は、2つの角度と1つの辺がわかっているときに、三角形の残りの辺を求めるのに使われます。これを三角測量といいます。しかし、この計算では、角度が90度に近い場合には数値的な誤差が生じることがあります。また、2つの辺と辺で囲まれていない角度のうちの1つがわかっている場合にも、サインの法則を使うことができます。このような場合には、数式では囲まれた角度に対して2つの可能性のある値を与えてしまうことがあります。これを曖昧な場合といいます。

サインの法則は、三角形の長さや角度を求めるのに使われる2つの三角法のうちの1つです。もう一つは余弦の法則です。

この説明に必要な文字をラベル付けした三角形。aはAの反対側の面、bはBの反対側の面、cはCの反対側の面である。

証明

どのような三角形の面積Ｔ {\displaystyle T $T$ } は、その底辺の半分に高さをかけたもの（底辺にない頂点から描く）として書くことができる。どの辺を底辺にするかによって、面積は次のように与えられる。

T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) .♪♪displaystyle T={\frac {1}{2}b(c\sin A)={\frac {1}{2}c(a\sin B)={\frac {1}{2}a(b\sin C)A}, .} $T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.$

これに２／ａｂｃを $2/abc$ 乗算すると

2 T a b c = sin A a = sin B b b = sin C c .♪♪displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}},.} ${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.$

質問と回答

Q:ブルーローとは何ですか?

A:正弦の法則とも呼ばれ、写真のような三角形があれば、その方程式が成り立つという数学の定理のことです。

Q:この式は何を表しているのですか?

A: この式は、各辺の長さとその反対側の角の正弦の比が等しいことを表しています。

Q:どのように使うのですか?

A:正弦定理は、2つの角と1つの辺がわかっているときに、三角形の残りの辺を求めるために使うことができます。また、2つの辺と、その2つの辺が囲んでいない1つの角がわかっている場合にも使えます。

Q:あいまいな場合はどうなるのでしょうか?

A: 計算式では、含まれる角度に2つの可能な値が示される場合があります。これを曖昧なケースといいます。

Q:他の三角関数と比較してどうですか?

A: 正弦の法則は、三角形の長さと角度を求めるために使われる2つの三角形の方程式のうちの1つです。もうひとつは、コサインの法則である。

Q:Dの値は?A: Dは三角形の外周の直径に相当します。