平均近点角（軌道要素）

定義と基本式

平均近点角は通常、文字Mで表され、次の関係式で定義される。
M = n (t − τ)
ここで、nは平均運動（平均角速度、n = 2π/T）、Tは軌道周期、tは対象とする時刻、τは近点通過時刻である。この定義により、M/2πは近点通過後に経過した軌道周期の割合に等しい。この線形性により、Mは時刻と軌道位相の変換にとりわけ有用である。角度を2πをまたいで正しく連続的に扱うなら、t2 − t1 = (M2 − M1)/n となる。

他の近点角およびケプラー方程式との関係

楕円軌道では、平均近点角はケプラー方程式
M = E − e sin E
により、離心近点角Eと結び付けられる。ここでeは軌道離心率である。離心近点角はさらに、三角関数による関係式を通じて真近点角、すなわち近点から測った実際の極角へ写像される。与えられたMからEを求めることは、しばしば必要となる超越方程式の解法であり、通常はニュートン・ラフソン法などの反復数値計算や級数展開によって行われる。非楕円軌道にも類似のパラメータがある。双曲線近点角Hは M_hyp = e sinh H − H を満たし、放物運動にはバーカーの形式が用いられる。これらも円錐曲線の種類に適応した、時間に比例するパラメータという役割を保つ。

性質と実用上の利用

• 平均近点角は率nで一様に増加し、近点通過時にはゼロとなる。
• 円軌道（e = 0）では、平均近点角、離心近点角、真近点角は一致し、角度についての運動は一様である。
• Mは無次元量であるが、通常はラジアンまたは度で表される。その線形性は、暦表の補間やミッション計画を簡単にする。
• Mは楕円上の幾何学的な角度ではないため、位置へ変換するにはケプラー方程式を解き、Eを楕円へ写像する必要がある。

歴史と背景

近点角の概念は、ヨハネス・ケプラーが惑星運動の法則を定式化した17世紀に始まった。ケプラーは、惑星が面積を掃くのに要する時間を一様に進むパラメータと関連付けるため、補助角を導入した。現代の軌道要素の組には、選んだ元期または近点通過元期に対する軌道の時刻情報を直接符号化する標準パラメータとして、平均近点角が含まれる。

注記と区別

平均近点角、離心近点角、真近点角を区別することが重要である。真近点角は軌道上の物理的な角度、離心近点角は楕円をパラメータ化するための補助円の角度、平均近点角は時間が一様に進むことを表すパラメータである。実際の計算では通常、Mからケプラー方程式を解いてEへ変換し、続いてEを真近点角へ変換して瞬間の位置を求める。さらに技術的な説明については、天体力学における軌道周期および角度に関する項目を参照。