角：定義、測定、種類、歴史と応用

記法と基本的性質

角の名称にはいくつかの方法がある。一般にギリシア文字など1文字で表す方法、頂点に小さな弧印を付して表す方法、2辺と中央の頂点を示す3文字で表す方法がある。後者の例は∠ABCである。一方の辺から他方の辺までの回転量が、角の大きさを測る。ユークリッド幾何学では、角はその辺と頂点によって定まる。多角形や多面体の隅にある角は、その形状の基本となる。たとえば三角形では、3本の辺が3つの頂点で対ごとに交わる。立方体では辺と面が交わり、各隅に直角が形成される。

単位と換算

角の測定に最もよく使われる単位は度とラジアンである。1周は360度（360°）、または2πラジアンに等しい。度はさらに細分され、1°は60分（'）、1分は60秒（"）である。実用上は十進法による度数と分数による度数のいずれも用いられる。ラジアンは純粋な比であり、円周上で長さが半径に等しい弧に対して、その円の中心に張る角が1ラジアンである。比較的使用頻度の低い単位にグラード（gonともいう）があり、100グラードは90°に等しい。たとえば、22.5°＝22°30'＝π/8ラジアンである。

角の分類

• 鋭角：0°より大きく、90°より小さい角。
• 直角：ちょうど90°の角。垂直な直線は直角に交わる。
• 鈍角：90°より大きく、180°より小さい角。
• 平角：ちょうど180°の角。2辺は一直線をなす。
• 優角：180°より大きく、360°より小さい角。
• 一回転角：ちょうど360°で、完全な1回転に当たる角。

角には2つの角の関係もある。余角は和が90°となる2角、補角は和が180°となる2角である。隣接角は1辺を共有し、2直線が交差するときの対頂角は等しい。

歴史と発展

円を360等分する方法には古い起源があり、一般にはメソポタミアで用いられた天文観測と六十進法の計数体系に由来するとされる。これが度や分の使用に影響を与えた。ラジアンは、円の半径を通じて線的な測定と角度の測定を結び付けるため、微積分学や解析学における自然な単位として後に現れた。グラードは、直角を十進法で細分するため、メートル法化の試みの中で導入された。数学的記法と角の体系的研究はギリシア幾何学とともに発展し、イスラム圏およびヨーロッパの数学を通じてさらに展開された。

応用と注目すべき事項

角は多くの分野の基礎である。測量と航法では方向や方位を定め、工学と大工仕事では接合部や許容差を定義する。物理学と天文学では軌道や見かけの離角を記述し、コンピュータグラフィックスとロボット工学では回転と姿勢の制御に用いられる。三角法は直角三角形の辺の長さの比と角を関係付け、波動・信号・回転の解析を支える。三次元では二面角が2平面のなす角を測り、立体角は平面角の概念を空間の一部分へ一般化したものである。

幾何学の問題を解く際は、度とラジアンのどちらが必要かを確認し、頂点を明確に記し、余角・補角・対頂角といった標準的な関係を用いると、作図や計算を簡略化できる。体系的な入門については、初等幾何学の資料や三角法・解析幾何学の教科書を参照するとよい。定義と図解については、直線、辺、点、平面、α、β、γ、θ、測定、度、記号、小数、分数、分、秒、数学、ラジアン、グラード、頂点、三角形、立方体を参照。