位相速度：定義、群速度との違い、分散との関係

数学的定義

角周波数をω、波数をkとする調和波の位相速度vpは、次のように表される。

• vp = ω / k
• 同値な表現：vp = f・λ = λ / T（fは周波数、λは波長、Tは周期）

これらの関係は、それぞれの単色成分について成り立つ。非分散性媒質ではωはkに比例し、vpは一定である。一方、分散性媒質ではvpは周波数によって変化する。

分散と重要な区別

媒質が分散性をもつ場合、異なる周波数は異なる位相速度で伝わる。群速度vg = dω/dkは、通常、波束の伝播およびエネルギーや情報の流れを支配し、vpとは大きく異なることがある。この区別は多くの場面で重要である。位相速度は波の模様、たとえば波の山の移動を表すのに対し、群速度は信号またはエネルギーの伝播を表す。

例と応用

真空中では、電磁波の位相速度はvp = cである。単純な誘電体ではvp = c/nとなり、nは屈折率を表す。水波や弦上の波はしばしば分散を示すため、vpは波長に依存する。位相速度の概念は、非線形光学における位相整合、アンテナや導波路の設計、表面波およびプラズマ波の解析などに実用される。量子力学のド・ブロイ波では、情報が光速を超えて伝達されることなく、位相速度がcを超える場合がある。

歴史的注記と注目すべき事実

位相速度の考え方は、古典的な波動理論とフーリエ解析から自然に導かれる。注目すべき現象として、特定の媒質ではvpが光速を超えうることが挙げられる。これは情報速度がvgによって制限されるため、相対性理論に反しない。また、人工的に設計されたメタマテリアルでは負の位相速度が生じることもある。周波数の概念については周波数を、簡単な視覚的参照としては波の山を参照。波長との関係は波長にまとめられている。

要点

• 位相速度は単一周波数の位相パターンを追跡する量であり、信号速度そのものではない。
• 群速度とは異なり、両者はいずれも分散関係ω(k)から導かれる。
• 光学、音響学、水波、導波路、量子力学において重要である。