素数定理
素数の定理とは、数論の定理の一つです。素数は数の範囲に均等に分布しているわけではありません。この定理は、1から任意の数までの素数に当たる確率は、数が大きくなるにつれて小さくなるという考えを公式化したものです。この確率は約n/ln(n)であり、ln(n)は自然対数関数である。つまり、2n桁の素数に当たる確率は、n桁の素数に当たる確率の約半分ということになります。例えば、1000桁までの正の整数のうち、2300分の1程度が素数（ln 101000≒2302.6）であるのに対し、2000桁までの正の整数のうち、4600分の1程度が素数（ln 102000≒4605.2）となります。つまり、最初のN個の整数のうち、連続する素数の平均的な間隔は、およそln(N)となります。
15歳のカール・フリードリヒ・ガウスは、1793年に素数と対数の間に関連性があることを疑っていた。アドリアン・マリー・レジェンドルも1798年に素数と対数の関係を疑っていた。ジャック・ハダマールとシャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレ・プッサンが素数定理を証明したのは、ガウスから1世紀以上も後の1896年のことである。
質問と回答
Q:素数定理とは何ですか?
A: 素数定理とは、素数がどのように数の範囲に分布しているかを説明する、数論の定理です。
Q:素数は数的範囲に均等に分布しているのですか?
A:いいえ、素数は数域に均等に分布しているわけではありません。
Q:素数定理は何を公式化したものですか?
A:素数定理は、「1からある数までの素数に当たる確率は、数が大きくなるにつれて小さくなる」という考えを定式化したものです。
Q: 1とある数の間にある素数に当たる確率は何ですか?
A: 1とある数の間の素数に当たる確率は約n/ln(n)、ln(n)は自然対数関数です。
Q: 2n桁の素数に当たる確率は、n桁の素数に当たる確率より大きいのですか?
A:いいえ、2n桁の素数に当たる確率は、n桁の素数に当たる確率の約半分となります。
Q:素数定理を証明したのは誰ですか?
A: ジャック・ハダマードとシャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレ・プッサンが、1793年にガウスが素数と対数の関連を疑ってから1世紀以上経った1896年に素数定理を証明しました。
Q: 最初のN個の整数のうち、連続する素数の間の平均的なずれは何でしょうか?
A: 最初のN個の整数のうち、連続する素数の間の平均ギャップはおよそln(N)です。
