対数

歴史

対数が最初に使われたのは紀元前2世紀のインドです。近代になって初めて対数を使ったのはドイツの数学者ミヒャエル・シュティフェル（1487-1567年頃）である。1544年、彼は次の式を書いた： q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} and q m q n = q m - n {displaystyle {tfrac {q^{m}}{q^{n}}=q^{m-n}}}。これが対数を理解するための基礎となる。Stifelにとって、m {displaystyle m}とn {displaystyle n}は、整数でなければならなかった。ジョン・ネイピア（John Napier、1550-1617）はこの制限を望まず、指数の範囲を求めた。

ネピアによると、対数は比を表す： a {a {displaystyle a} has the same ratio to b {\displaystyle b} , as c {\displaystyle c} to d {displaystyle d} if the difference of logarithms match.数学的には log (a ) - log (b ) = log (c ) - log (d ) {\displaystyle \log(a) -\log(b)=\log(c) -\log()} .最初は、ベースeが使われていた(まだ名前が出ていないのに)。ヘンリー・ブリッグスが対数の基底として10を使うことを提案したが、このような対数は天文学では非常に有用である。

ジョン・ネイピアは対数に取り組んだ

指数関数との関係

対数は、ある数を作るのに必要な指数（または乗）を教えてくれるので、対数は指数の逆（反対）になります。

指数関数に3つの部分があるように、対数にも3つの部分があります。対数の3つの部分は、基底、引数、答えです（力とも呼ばれます）。

これは指数関数です。

２ ３ ＝ ８ {display style 2^{3}=8} }。

この関数では、基底が2、引数が3、答えが8となっています。

この指数関数には逆数、対数があります。

log 2 ( 8 ) = 3 {display style \ style

この対数では、基底が2、引数が8、答えが3となります。

根っこの違い

足し算には、引き算という逆算があります。また、乗算には、除算という逆算があります。このように、指数の計算には逆の演算が2つあることが理解できないかもしれません。すでに根があるのに、なぜ対数が必要なのか？これは、指数演算が可換的ではないからです。

以下の例では、これを説明しています。

• x+2=3があれば、減算を使ってx=3-2を求めることができます。これは、2+x=3を持っている場合も同じです：あなたもx=3-2を得ることができます。これは、x+2が2+xと同じだからです。
• x - 2=3なら、x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}のように割り算で求めることができます。.これは、あなたが2 - x=3を持っている場合も同じです：あなたはまた、x=3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}}を取得します。.これは、x - 2が2 - xと同じだからです。
• x²=3ならば、(平方根)を使ってxを求めます。You get the result x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}}}のようになります。.しかし、^2x=3 の場合、ルートを使って x を求めることはできません。x=log₂(3)という結果が得られます。
  これは、通常、2xはx^{2と同じで}はないからです（例えば、²⁵=32ですが、5²=25）。

用途

対数を足すことは掛け算と同じで、対数を引くことは割り算と同じなので、大きな数字の掛け算や割り算を簡単にすることができます。

電卓が普及して一般的になる前は、本に載っている対数表を使って掛け算や割り算をしていました。スライドルールという対数が書かれた道具には、対数表と同じ情報が記載されていました。

• 対数螺旋は自然界では一般的です。例えば、オウムガイの殻やヒマワリの種子の配置などです。
• 化学では、ヒドロニウムイオン（H₃O+、水の中でH^+が取る形態）の活性の基底10対数の負の値がpHとして知られている尺度です。中性水中のヒドロニウムイオンの活性は25℃で10^-7 mol/Lであり、pHは7です(これは水溶液中のヒドロニウムイオンとヒドロキシルイオンの濃度の積である平衡定数が10^{-14 M2}であることによるものです)。
• リヒタースケールは、震度を基底10対数で測定します。
• 天文学では、見かけの大きさは星の明るさを対数的に測定するもので、目も明るさに対数的に反応するため、見かけの大きさは星の明るさを対数的に測定します。
• 音程は半音として対数的に測定されます。2つの音の間の音程を半音で表すと、周波数比の基底^21/12対数になります（同等に、基底2対数の12倍）。小数の半音は、不等音ではない気質の場合に使用されます。特に等調音階からの逸脱を測るために、音程もセント（等調半音の100分の1）で表されます。2つの音の間の音程をセントで表すと、周波数比の基底^21/1200対数（または基底2対数の1200倍）になります。MIDIでは、音符は半音階で番号付けされます（中段のCを60とした絶対公称音程の対数）。他のチューニングシステムへのマイクロチューニングのために、対数スケールが定義されています。この音階は半音全体の音符番号に対応しています。MIDIのマイクロチューニングを参照してください）。

一般的な対数

基数10までの対数は一般的な対数と呼ばれます。これらの対数は通常、基底なしで書かれます。例えば

log ( 100 ) = 2 {displaystyle \log(100)=2} }。

ということです。

10 2 = 100 {displaystyle 10^{2}=100 }。

自然対数

基数eに対する対数は自然対数と呼ばれています。eは2.71828に近い数で、数学者レオンハルト・オイラーにちなんでオイラー定数とも呼ばれています。

自然対数は、記号 log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)A or ln ( x ) {\displaystyle ﾞLn(x)ﾞLn(x)ﾞLn, } を取ることができる。

ある著者は自然対数をlog ( x ) {\displaystyle \log(x)}のように使うことを好むが、通常は序文でこのことに言及している。

対数の共通ベース

ベース	略語	コメント
2	ld {\displaystyle 操り人形名 {ld}.}	コンピュータサイエンス（バイナリ）では非常に一般的
e	ln {\displaystyle ﾞ\ln } or simply log {\displaystyle ﾞ\log }	そのベースとなるのがオイラー定数eで、これは純粋数学で使われる最も一般的な対数です。
10	log 10 {\displaystyle ＃10}} or log {\displaystyle ＃10}} またはlog(時には lg と書くこともある)	化学や生物学のようないくつかの科学で使用されています。
幾らでも	♪ log n {displaystyle	これが一般的な対数の書き方

対数の性質

対数は多くの性質を持っています。例えば

対数の定義からの性質

この性質は対数の定義からそのままです。

log n ( n a ) = a { {displaystyle \log _{n}(n^{a})=a}.例えば

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3}.であり

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{frac {1}{2}}{\bigg )}=-1} because 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {frac {1}{2}=2^{-1}}} 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {frac {1}{2}=2^{-1}}..

数aの
基底b
に対する対数は、aの対数をbの対数で割ったものと同じです。

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={frac {\log(a)}{\log(b)}}}}}}}}}}}}}}}}。

例えば，a を 6 とし，b を 2 とします．電卓を使って、これが本当か、少なくとも非常に近いことを示すことができます。

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={frac {\log(6)}{\log(2)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}。

♪ log 2 ( 6 )≒ 2.584962 {displaystyle

2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 ≒ 2.584962 ≒ 2.584970

私たちの結果には小さな誤差がありましたが、これは数字を丸めたことによるものです。

自然対数はイメージしにくいので、ベーステン対数で考えると、次のようになります。

ln ( x ) = log ( x ) log ( e )≒ log ( x ) 0.434294 {\displaystyle ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}}}}}}}}}}}}}。ここで、0.434294はeの対数の近似値です。

 

対数引数内の操作

引数内で乗算する対数は、以下のように変更することができます。

log (a b ) = log (a ) + log (b ) {\displaystyle

例えば

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {display style \ style log(1000)=log(10) =log(10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)=1+1+1+1=3}。

割り算でも足し算ではなく引き算でも同じ働きをしますが、これは掛け算の逆の演算ですから。

log (a b ) = log (a ) - log (b ) {\display style ≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≫≫≫≫≫≫≫≫≫

対数表、スライドルール、歴史的なアプリケーション

電子コンピュータの前には、対数は科学者によって毎日使われていました。対数は天文学など多くの分野で科学者やエンジニアを助けました。

コンピュータ以前は、対数表は重要なツールでした。1617年、ヘンリー・ブリッグスが最初の対数表を印刷しました。これはネイピアの基本的な発明のすぐ後のことである。その後、人々はより良い範囲と精度のテーブルを作った。これらの表は、ある範囲内の任意の数xの_logb(x)と^bxの値を、ある基底b(通常はb=10)に対して、ある精度でリストアップしたものである。例えば、Briggsの最初の表には、8桁の精度で、1-1000の範囲のすべての整数の共通対数が含まれていました。関数f(x) = ^bxは_logb(x)の逆関数なので、これは反対数と呼ばれてきました。人々はこれらの表を使って、数字の掛け算や割り算をしていました。例えば、あるユーザーが2つの正の数のそれぞれについて表の対数を調べたとします。表の数値を足すと、積の対数が得られます。この表の反対数機能は、その対数に基づいて積を求めることができます。

精度を必要とする手計算では、2つの対数のルックアップを実行し、その和または差を計算し、反対数をルックアップすることは、以前の方法で乗算を実行するよりもはるかに高速です。

多くの対数表は、xの特性と仮数、つまりlog₁₀(x)の整数部と分数部を別々に与えて対数を与えています。10 - xの特徴量は、xの特徴量に1を足したものであり、それらの符号は同じである。これは対数表の範囲を広げています。1から1000までのすべての整数xのlog₁₀(x)をリストアップした表が与えられると、3542の対数は次のように近似されます。

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354.2 ) = 1 + log 10 ( 354.2 )≒ 1 + log 10 ( 354 ) .｛*displaystyle ｌｏｇ_{10}(3542)=\ ｌｏｇ_{10}(10\cdot 354.2)=1+\ ｌｏｇ_{10}(354.2)=1+\ ｌｏｇ_{10}(354.2)approx 1+\ ｌｏｇ_{10}(354).

もう一つの重要なアプリケーションは、ここに示されているように、計算に使用される対数的に分割されたスケールのペアであるスライドルールでした。

数字は、その対数の差に比例した距離にあるスライドスケール上にマークされています。上の目盛りを適切にスライドさせると、機械的に対数を足すことになります。例えば、下の目盛りの1から2までの距離を上の目盛りの1から3までの距離に足すと、6の積になり、下の部分で読み取られます。1970年代までは、多くのエンジニアや科学者がスライドルールを使用していました。科学者は対数表を使うよりもスライドルールを使った方が速く作業ができます。

最も近い星雲と星団（クリックすると地図が表示されます


スライドルールの模式図。下の目盛りの2から始めて、上の目盛りの3に距離を追加して積6に到達します。1からxまでの距離がxの対数に比例するようにマークされているので、スライドルールは機能します。