シェルピンスキーの三角形：構成・性質・意義

構成

代表的な決定論的構成は、正三角形から始め、次の操作を無限に繰り返す。

• 各辺の中点を結んで、三角形を合同な4つの正三角形に分割する。
• 中央にできる逆向きの三角形を取り除き、3つの頂点側の三角形を残す。
• 残った小さな各三角形に、同じ除去操作を適用する。

n回の反復後、図形は元の辺長の2−n倍の辺長をもつ小さな正三角形3n個から成る。同じフラクタルは、元の三角形の頂点をランダムに選び、その頂点へ向かって毎回半分ずつ移動する「カオスゲーム」と呼ばれるランダムな方法でも生成できる。

数学的性質

シェルピンスキーの三角形は自己相似であり、縮小率1/2の自分自身の複製3個の和集合と正確に一致する。そのハウスドルフ次元（フラクタル次元）は log 3 / log 2 ≈ 1.585 であり、直線の次元と平面の次元の間にある。非可算無限個の点を含むにもかかわらず、極限集合の平面ルベーグ面積はゼロである。これは、各段階で残る面積が3/4倍となり、nが大きくなると(3/4)nがゼロに近づくためである。

集合の境界は反復ごとにますます複雑になり、辺の総延長は上限なく増大する。シェルピンスキーの三角形はコンパクトで、平面内で内部を持たない。また、位相次元とフラクタル次元の違いを説明するために広く用いられる。

歴史と変種

この図形は、20世紀初頭に関連する構成を記述したポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキーにちなんで名付けられた。変種には、正方形を基にした類似物であるシェルピンスキー・カーペットや、同じ除去規則を空間へ拡張したシェルピンスキーの四面体、すなわち四面体ガスケットなどの三次元的一般化がある。これらの類似物については、3次元版を参照。

例、応用、注目すべき事実

教育的な例にとどまらず、この模様は意外な場所にも現れる。パスカルの三角形の項を2を法として陰影表示したときの奇数・偶数のパターンは、シェルピンスキーの三角形を再現する。また、特定のアンテナ設計では、マルチバンド特性を得るために自己相似形状が利用される。芸術家やデザイナーも、その再帰的なモチーフを視覚効果のために用いる。中央部分を繰り返し取り除くという規則の簡潔さにより、シェルピンスキーの三角形はフラクタル幾何学への永続的で親しみやすい入口となっている。