フラクタルとは｜自己相似の原理・生成例とマンデルブロの定義、応用解説

フラクタルとは、画像として見たときに、拡大しても同じ絵になるようなパターンのことです。拡大しても同じ絵になるし、分割しても元の絵を小さくしたような絵になる。フラクタルという言葉は、1975年にブノワ・マンデルブロがラテン語のfractusから作ったもので、「壊れた」「破砕された」という意味である。簡単な例では、木が細かく枝分かれし、その枝がさらに小さく枝分かれしていくようなものです。フラクタルは美しいだけでなく、実用的な用途も多い。

定義と自己相似（セルフシミラリティ）

フラクタルは一般に、どのくらい厳密な自己相似性を要求するかで定義が変わります。ある部分を拡大すると全体と似ている「自己相似（self-similarity）」を持つ図形を指すのが基本的な観点です。自己相似には次のような種類があります。

• 厳密自己相似：部分が拡大縮小だけで完全に全体と一致する（例：コッホ曲線、シェルピンスキーの三角形）。
• 統計的自己相似：個々の部分は厳密には同じでないが、統計的性質（粗さ、分布など）がスケールに対してほぼ不変（例：雲や山岳の地形）。
• 近似自己相似：ある範囲の拡大で似た構造が観察されるが、完全ではない場合（多くの自然現象）。

マンデルブロの定義とマンデルブロ集合

ブノワ・マンデルブロは1970年代に「フラクタル」という語を広め、フラクタルを〈通常のユークリッド次元より複雑な幾何学的構造〉として扱いました。数学的な有名例としてはマンデルブロ集合があり、これは複素数平面上の次の条件で定義されます。

複素数 c に対し、初期値 z0 = 0 として反復 z_{n+1} = z_n^2 + c を繰り返したとき、この列が無限に発散しないような c の集合がマンデルブロ集合です。境界が極めて複雑でフラクタル的構造を持ち、無限の自己相似（部分的には回転やスケーリングで類似）を示します。マンデルブロ集合と密接に関連するのが各 c に対するジュリア集合（Julia set）で、c によって形が変わります。

フラクタル次元（非整数次元）の直感

フラクタルの特徴的な性質の一つがフラクタル次元です。これは図形の「粗さ」や「埋め尽くし方」を表す指標で、通常の整数次元（線＝1次元、面＝2次元）では表せない場合があります。代表的な次元の概念に次のものがあります。

• ハウスドルフ次元（Hausdorff次元）：数学的に厳密な定義。
• ボックスカウント次元：実用的に使いやすい近似法。細かい格子で被覆してスケール則を測る。

例：コッホ曲線の次元は log(4)/log(3) ≈ 1.2619、シェルピンスキーの三角形は log(3)/log(2) ≈ 1.585、カントール集合は log(2)/log(3) ≈ 0.6309 です。これらは位相次元（整数）とは異なり、フラクタル特有の〈寸法〉を示します。

代表的な生成方法（アルゴリズム）

• 反復関数系（IFS：Iterated Function System）：線形アフィン変換などの有限個の関数をランダムに反復して点を集める方法。バンズリーのシダ（Barnsley fern）など。
• 逃走時間アルゴリズム（Escape-time）：マンデルブロ集合やジュリア集合の生成で使われ、各点の反復が発散するまでの反復回数を色付けする。
• L-System（Lindenmayer system）：文字列書き換え規則で植物のような分岐構造を生成。木や葉のモデルに適す。
• 確率的手法・ランダムフラクタル：中点変位法やパーリンノイズなど、確率を用いて自然の粗さを生成する。

代表的な例（数学的・自然界）

• 数学的フラクタル：コッホ曲線、シェルピンスキーの三角形、カントール集合、マンデルブロ集合、ジュリア集合など。
• 自然界のフラクタル：海岸線の入り組み方、山岳地形、雲の輪郭、河川網、木の枝分かれ、肺や血管の枝分かれ構造など。これらは厳密でなくとも統計的自己相似を示す。

応用例

• コンピュータグラフィックス：自然の風景や植物のモデリング、映画やゲームのプロシージャル生成。
• 画像圧縮：フラクタル画像圧縮（部分の自己相似を利用）—現在は他法に押されることもあるが理論的に興味深い。
• アンテナ設計：フラクタル形状のアンテナは広帯域性や小型化に有利な例がある。
• 地質学・地理学：断層や河川網、海岸線の解析にフラクタル解析を利用。
• 医学・生物学：血管や気道の構造解析、組織のテクスチャ解析などにフラクタル次元を指標として使うことがある。
• 信号解析・経済データ：時系列の粗さや自己相似性を調べるために用いられることがある（例：ボラティリティの解析）。

簡単な生成例（直感的な手順）

• コッホ曲線：直線の中央1/3を取り除き、代わりに正三角形の二辺を貼る操作を各線分に繰り返す。
• シェルピンスキーの三角形：正三角形を4つに分割し中央の三角形を除き、残った3つの三角形に同じ操作を繰り返す。
• バンズリーのシダ（IFS）：複数のアフィン変換を確率的に適用して点を打つとシダ状のフラクタルが得られる。

まとめ

フラクタルは「見た目の自己相似性」と「非整数な次元」を伴うことが多い幾何学的概念で、純粋数学から応用分野まで幅広く使われます。自然現象の記述やコンピュータグラフィックス、工学的設計など、多くの領域で実用的な洞察や技術を提供しています。興味があれば、マンデルブロ集合やジュリア集合を生成する簡単なプログラムや、L-Systemで木を描くチュートリアルから始めると理解が深まります。

例

フラクタルには多くの種類があり、多種多様な方法で作られています。例えば、シェルピンスキーの三角形は、大きな三角形の中に小さな三角形が無数に存在する。また、ブノワ・マンデルブロにちなんで名づけられたマンデルブロ集合もその一つである。シェルピンスキーの三角形はパターンで構成されているが、マンデルブロ集合は方程式に基づいている。

また、木々や雪の結晶、一部の野菜や海岸線など、自然界にもフラクタルは多く存在します。

コッホ曲線

コッホ曲線は、フラクタルの簡単な例です。まず、直線の一部から始めます。これを直線セグメントと呼びます。この直線を同じ大きさの3つの断片に切り分けます。そのうちの真ん中を取り除き、切り取った部分と同じ長さの辺を持つ三角形の上の部分を入れます。これで、両端が接した4本の線分ができました。最初の線分に対して行ったことを、4つのビットにそれぞれ行うことができます。同じことを、最終的に得られるすべてのビットに何度も行います。これをずっと続けて、最終的に何ができるか見てみましょう。

コッホ曲線の長さは無限大で、コッホ曲線の面積はゼロです。これはかなり不思議なことである。長さ1、幅1の正方形（寸法は2）は、面積1、長さ無限大となる。

類似性寸法

つまり、コッホ曲線は、1次元のものよりは大きく、2次元のものよりは小さいようです。類似次元の考え方は、フラクタルについて、長さや面積をよりよく理解できるような次元を与えることである。ですから、コッホ曲線には、1 と 2 の間の次元が必要です。

コッホ曲線は4つに切り分けられ、それぞれの大きさは元の大きさの1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}} である。フラクタルが切り分けられる個数のことを N {\displaystyle N} 、大きさの差のことを B {\displaystyle B} と呼ぶことにします。これらを式にすると

log N - log B {displaystyle {displaystyle {displaystyle {log N}{-log B}}}}

ここで、log {displaystyle \log } はある数値の対数である。この数はフラクタルのHausdorff Dimensionです。コッホ曲線ではlog 4 - log 1 3 = 1.2619...です。{displaystyle { {frac {}log 4}{-log {frac {1}{3}}}}=1.2619...} 私たちが望んだように。

コッホ曲線は最も単純なフラクタル図形の一つなので、その次元を計算するのは簡単である。その相似次元とハウスドルフ次元はともに同じである。しかし、より複雑なフラクタル図形ではそうではありません。

コッホの雪

コッホ曲線は、線分ではなく正三角形から始まることを除けば、コッホ雪片（またはコッホ星）と同じである。

コッホ曲線の作り方

質問と回答

Q: フラクタルとは何ですか?

Q: 「フラクタル」という言葉を作ったのは誰ですか?

Q: 「フラクタル」の語源は何ですか?

Q: フラクタルは切り分けることができますか?

Q: フラクタルにはどのような実用性がありますか?

Q: フラクタルはなぜ重要なのですか?

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