2の平方根
2の平方根、または2の（1/2）乗は、数学では√2または21⁄2 と書かれ、それ自体を掛けると2の数に等しくなる正の無理数である。より正確には、2の主平方根と呼ばれ、負の数である2の主平方根とは区別される。
幾何学的に2の平方根は、長さが1の辺を持つ正方形を横切る対角線の長さであり、ピタゴラスの定理で求めることができる。
2の平方根は、長さ1の脚を持つ直角三角形の斜辺の長さに等しい
2の平方根が有理数でないことの証明
数2 {}displaystyle {}sqrt {2}}
は有理数ではありません。以下はその証明です。
- 2 {}displaystyle {}sqrt {2}} が有理数であると仮定する。そこで a , b {displaystyle a,b}
such that a / b = 2 {displaystyle a/b={θsqrt {2}}} が存在することになる．
- aとbを選んで、aかbのどちらかが奇数になるようにすることができる。a と b が両方とも偶数なら、分数は単純化できる（例えば、2 4 {displaystyle {frac {2}{4}}} と書く代わりに、1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} と書くことができる）。
と書く代わりに、1 2 {displaystyle { {disfrac {1}{2}}}
と書くことができる）。 - 式の両辺を二乗すると、a2 / b2 = 2、a2 = 2 b となります。2
- 右辺は 2 b 2 {displaystyle 2b^{2}} となる。
.この数は偶数である。だから左辺も偶数でなければならない。だから a 2 {}displaystyle a^{2}}
は偶数である。奇数が2乗されると、奇数が結果になる。そして偶数が2乗されると、偶数も結果になる。だから、a {displaystyle a}
は偶数である。 - aは偶数なので、次のように書くことができる： a = 2 k {displaystyle a=2k}
. - 手順3の式が使われる。2b2 = (2k) となる。2
- 指数法則が使えます（記事参照） - 結果は 2 b 2 = 4 k 2 {displaystyle 2b^{2}=4k^{2}} となります。
. - 両辺を2で割ると、b 2 = 2 k 2 {displaystyle b^{2}=2k^{2}} となります。
.つまり、b { {displaystyle b}
は偶数である。 - ステップ2では、aが奇数かbが奇数かと言われました。しかし、ステップ4では、aは偶数であると言われ、ステップ7では、bは偶数であると言われた。もし、ステップ1で立てた仮定が正しいのであれば、他のこともすべて正しいはずですが、お互いに反対なので、すべてが正しいということはありえません。
2 {displaystyle {}sqrt {2}} が有理数であることは真実ではありません。つまり、2 {displaystyle {}sqrt {2}} は不合理です。
