冪乗

指数（乗）は、数に対する算術です。乗算が足し算の繰り返しであるように、乗算の繰り返しである。指数は上の方の指数で書く。これは次のようになります。{\displaystyle x^{y}}.過去には他の数学的表記法も使われてきた。上位指数が使えない機器で書くときは、^や**記号を使って力を書くので、2^3や2**3は2 3 {\displaystyle 2^{3}}ということになる。{\displaystyle 2^{3}}.

数 x {\displaystyle xx}を基数と呼び、数 y {\displaystyle yy}を指数と呼ぶ。例えば、2 3 {displaystyle 2^{3}}では{\displaystyle 2^{3}}は基数、３は指数です。

2{\displaystyle 2^{3}} 3を計算するには、２を３倍にしなければならない。だから ２ 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2{\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2}} .結果は２ ⋅２ ⋅２ = ８ {\displaystyle 2cdot 2\cdot 2=8{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8}} .方程式を声に出して読むとこうなる。

例。

  • 5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5cdot {}5=125} {\style 5^{3}=5\cdot {}5=125} {\style 5^{3}=5\cdot {}5=125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
  • x 2 = x ⋅ x {displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}. {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
  • 1 x = 1 {displaystyle 1^{x}=1{\displaystyle 1^{x}=1}} for every number x

指数が２に等しい場合、２乗と呼ばれるのは、２乗の面積を２ {\displaystyle a^{2}}で計算するからです。{\displaystyle a^{2}}.だから

x 2 {\displaystyle x^{2}} {\displaystyle x^{2}}is a square of x {square of x}. x

指数が３に等しい場合、立方体の体積を３ {\displaystyle a^{3}}で計算するので、乗は立方体と呼ばれます。{\displaystyle a^{3}}.だから

x 3 {\displaystyle x^{3}} {\displaystyle x^{3}}is a cube of x {cube of x {\displaystyle x}. x

指数が-1に等しい場合、その人は基底の逆数を計算しなければなりません。そのため、次のようになります。

x - 1 = 1 x {displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}}}}。 {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}

指数が整数で0より小さい場合、その人は数を反転して乗を計算しなければなりません。例えば

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {displaystyle 2^{3}=\left({\frac {1}{2}right)^{3}={\frac {1}{8}}}}}。 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}

指数が１ ２ {\displaystyle {\frac {1}{2{\displaystyle {\frac {1}{2}}}}}}に等しい場合、指数の結果は、基底の平方根である。だから x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}}={\sqrt {x}}.}{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.}例。

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}=2}}。 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

同様に、指数が1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}{\displaystyle {\frac {1}{n}}}}であれば、結果はn番目のルートになります。

a 1 n = a n {displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}}}}}}}}} {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}

指数が有理数の場合 p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}}}{\displaystyle {\frac {p}{q}}}の場合、結果は基底のq番目の根をpの累乗まで上げたものになります。

a p q = a p q {a^{\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

指数は有理数ではないかもしれません。基底aを非合理的なxのべき乗まで上げるには、限界がxである有理数の無限列(xi)を使います。

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\im _{nto \infty }x_{n}}} {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

こんな感じで。

a x = lim n → ∞ a x n {displaystyle a^{x}=a^{x_{n}=a^{x_{n}}} }a^{x_{n}}}} {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

力の計算に役立つルールがいくつかあります。

  • ( a a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle left(a\cdot b\right) ^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}}}。 {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}
  • ( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle left({\frac {a}{b}right) ^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},Spotograph}}}. {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
  • a r ⋅ a s = a r + s {displaystyle a^{r}cdot {}a^{s}=a^{r+s}}} {}a^{s}=a^{r+s}} {}a^{s}=a^{r+s}}}a^{s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}
  • a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},a^{s},a^{s},a^{r-s},a^{s},a^{s},a^{s},a^{s},a^{s}. {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
  • a -n = 1 a n , a ≠ 0 {displaystyle a^{n}={\frac {1}{a^{n}}},A\quad aneq 0}. {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}
  • ( a r ) s = a r ⋅ s {displaystyle ¶left(a^{r}右) ^{s}=a^{rcdot s}}}}}。 {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
  • a 0 = 1 {displaystyle a^{0}=1} {displaystyle a^{0}=1}. {\displaystyle a^{0}=1}

行列の指数関数を計算することができます。行列は正方でなければなりません。例えばI 2 = I・・・I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} .{\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I}

可換性

足し算と掛け算はどちらも可換的です。例えば、2+3 は 3+2 と同じであり、2 - 3 は 3 - 2 と同じです。指数は乗算の繰り返しですが、可換的ではありません。例えば、2³=8ですが、3²=9です。

逆演算

足し算には、引き算という逆算があります。また、乗算には、除算という逆算があります。

しかし、指数計算には2つの逆演算があります。根と対数です。これは、指数の演算が可換的ではないからです。この例を見るとわかります。

  • x+2=3があれば、減算を使ってx=3-2を求めることができます。これは、2+x=3を持っている場合も同じです：あなたもx=3-2を得ることができます。これは、x+2が2+xと同じだからです。
  • x - 2=3なら、x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}のように割り算で求めることができます。{\textstyle {\frac {3}{2}}}.これは、あなたが2 - x=3を持っている場合も同じです：あなたはまた、x=3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}}を取得します。{\textstyle {\frac {3}{2}}}.これは x - 2 が 2 - x と同じであるためです。
  • x²=3ならば、(平方根)を使ってxを求めます。結果 x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}}を得ます。{\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}.しかし、2x=3 の場合、ルートを使って x を求めることはできません。x=log2(3)という結果が得られます。

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質問と回答

Q:指数関数とは何ですか?


A:指数関数とは、数値に対する算術演算の一つで、掛け算の繰り返しと考えることができます。

Q:指数はどのように書くのですか?


A:指数は通常x^yと書かれます。xは底、yは指数です。また、2^4や2**4のように^や**の記号を使って書かれることもあります。

Q:指数計算の例にはどのようなものがありますか?


A:指数の例としては、5^3 = 5*5*5 = 125、x^2 = x*x、1^x = すべての数xに対して1、4^(1/2) = sqrt(4) = 2などが挙げられます。

Q:指数が-1になるとはどういうことですか?


A:指数が-1に等しいとき、その累乗は単に底の逆数となる（x^(-1)=1/x）。

Q:底の不合理なべき乗はどのように計算するのですか?


A:ある底aを無理のx乗にするためには、xを極限とする有理数の無限列（xn）を用います（a^x = lim n->infinity a^(x_n))．

Q: 指数の計算を簡単にするルールはあるのでしょうか?


A:はい、指数の計算を簡単にするルールがいくつかあります。(a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); などです。

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