冪乗（べき乗）とは｜定義・性質・計算法則（負指数・分数指数・行列）

冪乗の定義から性質、負指数・分数指数、行列への応用まで図解と例でわかりやすく解説。計算法則や注意点も完全ガイド。

指数（べき乗）は、数に関する演算の一つです。乗算が足し算の繰り返しであるのと同様に、累乗（べき乗）は乗算の繰り返しです。べき乗は上付きの指数で表します。たとえば

$x^{y}$

ここで数 x を 底（基数）、数 y を指数と呼びます。たとえば $2^{3}$ では 2 が底、3 が指数です。

整数指数（正の整数）

指数が正の整数 n のとき、a^n は a を n 回掛け合わせたものです。たとえば

2 の 3 乗を計算するには、2 を 3 回掛けます。したがって

の場合、は指数です。例えば

2³ = 2・2・2 = 8（音読：2 の 3 乗は 2 を 3 回掛けたもの） $2^{3}$

指数が 2 のときは「二乗」と呼ばれ、平面図形の面積や正方形の辺の長さの二乗を表すことから馴染みがあります。たとえば a² は a の二乗です。 $a^{2}$

$x^{2}$ は x の二乗（square of x）です。

指数が 3 のときは「三乗（立方）」と呼ばれ、立体（立方体）の体積を表すことに関連しています。a³ は a を三回掛けた値です。 $a^{3}$

$x^{3}$ は x の三乗（cube of x）です。

指数が −1 のとき、a⁻¹ は底 a の逆数になります。つまり

$x^{-1}={\frac {1}{x}}$

一般に指数が負の整数 −n（n>0）のときは

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$

例えば

$2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

指数が分数のとき、a^1/n は a の n 乗根（n 次根）を表します。つまり

$a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

特に n=2 の場合は平方根です：

$x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$

例： $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

一般の有理数指数 p/q（q>0）のときは、先に底の p 乗をとってから q 次根をとるか、あるいは q 次根をとってから p 乗をとることで定義できます：

$a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

指数が有理数でない（無理数を含む実数）場合は、有理数の列で近似して極限を取ることで定義します。すなわち x を実数指数とすると、有理数列 x_n → x を用いて

$x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

ならば

$a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

によって a^x を定義します（適切な連続性の仮定の下で極限は一意に定まります）。

べき乗を扱う際に重要な恒等式を列挙します（定義域に注意：例えば除算のとき分母は 0 でないことなど）。

$\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$ （積の n 乗）
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$ （商の n 乗、b≠0）
$a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$ （同じ底の積は指数を足す）
${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$ （同じ底の商は指数を引く、a≠0）
$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$ （負の指数）
$\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$ （累乗の累乗は指数を掛ける）
$a^{0}=1$ （a≠0 のとき a^0 = 1）