三角法

三角法（ギリシャ語のtrigonon＝3つの角、metron＝尺度）は、角度、三角形、およびサイン（sin）、コサイン（cos）、タンジェント（tan）などの三角関数を扱う初等数学の一部である。幾何学と何らかの関係があるが、その関係については意見が分かれており、三角法は幾何学の一部分に過ぎないとする人もいる。

概要と定義

三角法では、三角形の部分を表現するために多数の具体的な単語を使用します。三角法における定義のいくつかを紹介する。

直角三角形 - 直角三角形は、90度に等しい角度を持つ三角形である。三角形は1つ以上の直角を持つことはできない）標準的な三角比は直角三角形にのみ使用することができます。
斜辺 - 三角形の斜辺は最も長い辺であり、直角の反対側にある辺である。例えば、右の三角形の場合、斜辺は辺cである。
角の反対側 - 角の反対側とは、その角の頂点と交わらない辺のこと。例えば、辺aは右の三角形の角Aの反対側である。
角の隣接 - 角の隣接辺とは、角の頂点と交差し、斜辺ではない辺のことである。例えば、辺bは右の三角形で角Aに隣接している。

標準的な直角三角形。Cはこの絵の直角

三角比

直角三角形の三角比は主に3つあり、その逆数も3つあります。合計で6つの比がある。それらは

正弦 (sin) - 角度の正弦はOpposite Hypotenuseに等しい{displaystyle {{text{Opposite｝\Hypotenuse}} {displaystyle {{text{Hypotenuse}} ${{\text{Opposite}} \over {\text{Hypotenuse}}}$
コサイン (cos) - 角度のコサインはAdjacent Hypotenuseに等しい{{displaystyle {{text{Adjacent｝\Hypotenuse}} の上に置く。 ${{\text{Adjacent}} \over {\text{Hypotenuse}}}$
接線 (tan) - 角度の接線はOpposite Adjacent {displaystyle} {{text{Opposite｝\୧⃛(๑⃙⃘◡̈๑⃙⃘) ${{\text{Opposite}} \over {\text{Adjacent}}}$

これらの比率の逆数は

コセカント (csc) - 角度のコセカントは Hypotenuse Opposite {displaystyle {{text{Hypotenuse}}} に等しい。 ${{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Opposite}}}$ \csc θ = 1 sin θ {displaystyle ⑅csc ⑅ta ={1 ⑅sin ⑅ta }} に等しくなります。 $\csc \theta ={1 \over \sin \theta }$

secant (sec) - 角度の secant は Hypotenuse Adjacent {displaystyle {{text{Hypotenuse}}} と等��ります。\over {text{Adjacent}} ${{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Adjacent}}}$ or sec θ = 1 cos θ {displaystyle \sec \theta ={1 \over \cos \theta }} {displaystyle {text{Adjacent}}} or sec θ = 1 cos θ {displaystyle {text{Adjacent}} $\sec \theta ={1 \over \cos \theta }$

コタンジェント (cot) - 角度のコタンジェントはAdjacent Opposite {displaystyle {{text{Adjacent}}} と等しくなります。 ${{\text{Adjacent}} \over {\text{Opposite}}}$ \ʕ-̫͡-ʔ ̫͡-ʔ ̫͡-ʔ ̫͡-ʔ ̫͡-ʔ ̫͡-ʔ $\cot \theta ={1 \over \tan \theta }$

この関係を覚えるために、学生はよくニモニックを使う。直角三角形のサイン、コサイン、タンジェントの比は、SOH-CAH-TOAのように文字列で表すことで覚えることができるのです。

正弦波＝対辺÷斜辺

コサイン＝隣接÷斜辺

タンジェント＝反対側÷隣接側

三角法を使って

正弦波と余弦波を使えば、三角形に関するほとんどすべての質問に答えることができる。これを三角形を「解く」という。2つの辺とそれに含まれる角、2つの角と1つの辺、3つの辺が分かれば、どんな三角形でも残りの角と辺を計算することができる。これらの法則は、幾何学のすべての分野で有用である。なぜなら、すべての多角形は三角形の組み合わせとして記述することができるからである。

三角法は、測量、ベクトル解析、周期関数の研究にも不可欠である。

また、球面幾何学を扱う球面三角法というものもある。これは、天文学、測地学、航海術などの計算に使われる。

三角関数の法則

正弦の法則

a Sin A = b Sin B = c Sin C {displaystyle {{text{a}}}\Ίταμμα για για για για για για για για για για\over {}{text{Sin B}}={{text{c}}\over {text{Sin C}} {{text{Sin C}}} ${{\text{a}} \over {\text{Sin A}}}={{\text{b}} \over {\text{Sin B}}}={{\text{c}} \over {\text{Sin C}}}$

コサインの法則

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos ( A ) {displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos(A)} } {displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos(A) $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)$

タンジェントの法則

a - b a + b = tan ( 1 2 ( A - B ) ) tan ( 1 2 ( A + B ) ){表示スタイル {frac {a-b}{a+b}}={frac {tan({}frac {1}{2}}(A-B))}{tan({}frac {1}{2}}(A+B))}} ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan({\frac {1}{2}}(A-B))}{\tan({\frac {1}{2}}(A+B))}}$