単位円とは定義・方程式(x^2+y^2=1)と性質および三角関数での応用

数学では、半径が1の円を単位円といい、中心は原点（座標(0,0)）である。単位円の標準的な方程式は x² + y² = 1 で表される。元の表記は次のとおりである： x +2 y = {\\21 x^{2}+y^{ $x^{2}+y^{2}=1$ 2}=1} 。単位円は特に三角法や解析学、複素数平面で重要な役割を果たす。

基本的な性質

方程式：任意の点 (x,y) が単位円上にあるとは、x² + y² = 1 を満たすことを意味する。
中心と半径：中心は原点 (0,0)、半径は 1。
対称性：x軸、y軸、原点まわりに対して対称。
面積と周長：面積は π、周長（円周）は 2π（半径が1のとき）。

三角関数との関係

単位円は三角関数を定義する便利な図形である。原点から角度 θ（通常はラジアン）だけ回転した点は座標 (cos θ, sin θ) で表される。すなわち、任意の実数 θ に対して

(x,y) = (cos θ, sin θ) は自動的に cos²θ + sin²θ = 1 を満たす。これは三角関数の基本恒等式（ピタゴラスの恒等式）である。

パラメトリック表示と向き

単位円はパラメータ θ を用いて x = cos θ, y = sin θ と表せる。
θ が増加すると、点は通常反時計回りに動く（正の向き）。

微分・接線

上半分のグラフ y = +√(1 − x²) に対して、微分係数は dy/dx = −x / y（y ≠ 0）。
パラメトリック表示では、速度ベクトルは (−sin θ, cos θ) であり、これが接線方向を与える。

複素数平面での単位円

複素数平面では、単位円は絶対値（ノルム）が1の複素数全体の集合 {z ∈ C | |z| = 1} である。オイラーの公式により点は e^iθ = cos θ + i sin θ と表され、角度 θ と密接に対応する。

応用と注意点

単位円は角度の測り方（度とラジアン）や三角関数の周期性、対称性の理解に役立つ。
直交座標と極座標の変換（x = r cos θ, y = r sin θ）を学ぶときの基準としても使われる（ここで r = 1 の場合が単位円）。
座標平面上の任意の円の方程式は、適切な平行移動や縮尺で単位円に帰着できるため、幾何学的・解析的な議論が簡単になる。

以上が単位円の定義・方程式と基本的性質、ならびに三角関数などへの応用の概要である。

単位円は、あらゆる三角関数のモデルとして使用できます。

単位円における三角関数

単位円の中で、求める角度をtと $t$ すると、xとyはcos ( t ) = x {\cos(t)=x $\cos(t)=x$ }、sin ( t ) = y {\sin(t)=y} $\sin(t)=y$ と定義できる。単位円の関数を用いて、x +2 y = {\\21 x^{2}+y^{2}=1}とする。 $x^{2}+y^{2}=1$ cos (2 t ) + sin ( 2t ) = {\1displaystyle cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1} $\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1$ という単位円の方程式が得られる。三角関数を扱う際には、主に0からπまでのラジ $\pi \over 2$ アン、つまり0から90度までの角度を使うと便利である。しかし、それ以上の角度を持つことも可能である。単位円を用いると、任意の整数k $sin(t)=\sin(2\cdot \pi k+t)$ に対してcos ( t ) = cos 2( ⋅ π k + t ) {\cos(2\cdot ˶ˆ꒳ˆ˵)}、 $\cos(t)=\cos(2\cdot \pi k+t)$ s i n ( t ) = sin 2( ⋅ π k + t ) {displaystyle sin(t)=sin(2\cdot ˶ˆ꒳ˆ˵)}の2つの恒等式が得られる。