数学では、半径が1の円を単位円といい、中心は原点（座標(0,0)）である。単位円の標準的な方程式は x2 + y2 = 1 で表される。元の表記は次のとおりである： x +2 y = {\\21 x^{2}+y^{
2}=1} 。単位円は特に三角法や解析学、複素数平面で重要な役割を果たす。
基本的な性質
- 方程式：任意の点 (x,y) が単位円上にあるとは、x2 + y2 = 1 を満たすことを意味する。
- 中心と半径：中心は原点 (0,0)、半径は 1。
- 対称性：x軸、y軸、原点まわりに対して対称。
- 面積と周長：面積は π、周長（円周）は 2π（半径が1のとき）。
三角関数との関係
単位円は三角関数を定義する便利な図形である。原点から角度 θ（通常はラジアン）だけ回転した点は座標 (cos θ, sin θ) で表される。すなわち、任意の実数 θ に対して
(x,y) = (cos θ, sin θ) は自動的に cos2θ + sin2θ = 1 を満たす。これは三角関数の基本恒等式（ピタゴラスの恒等式）である。
パラメトリック表示と向き
- 単位円はパラメータ θ を用いて x = cos θ, y = sin θ と表せる。
- θ が増加すると、点は通常反時計回りに動く（正の向き）。
微分・接線
- 上半分のグラフ y = +√(1 − x2) に対して、微分係数は dy/dx = −x / y（y ≠ 0）。
- パラメトリック表示では、速度ベクトルは (−sin θ, cos θ) であり、これが接線方向を与える。
複素数平面での単位円
複素数平面では、単位円は絶対値（ノルム）が1の複素数全体の集合 {z ∈ C | |z| = 1} である。オイラーの公式により点は eiθ = cos θ + i sin θ と表され、角度 θ と密接に対応する。
応用と注意点
- 単位円は角度の測り方（度とラジアン）や三角関数の周期性、対称性の理解に役立つ。
- 直交座標と極座標の変換（x = r cos θ, y = r sin θ）を学ぶときの基準としても使われる（ここで r = 1 の場合が単位円）。
- 座標平面上の任意の円の方程式は、適切な平行移動や縮尺で単位円に帰着できるため、幾何学的・解析的な議論が簡単になる。
以上が単位円の定義・方程式と基本的性質、ならびに三角関数などへの応用の概要である。
