カントールの対角線論法とは｜無限集合と基数の定義・歴史と証明

以下の例では、最も単純な無限集合である自然数と正の分数の2つの集合を使用します。N {displaystyle \mathbb {N} } と Q + {displaystyle \mathbb {Q^{+}} の2つの集合がともに自然数集合と分数集合であることを示すことである。 と Q + { {displaystyle \mathbb {Q^{+}}} が同じcardinalを持つことを示すことである。} は同じcardinalityを持っている。

まず、以下のように分数を配列に並べる。

1 1 2 1 3 1 4 1 5 ⋯ 2 1 2 2 3 2 4 5 ⋯ 3 1 3 2 3 4 3 5 ⋯ 4 1 4 2 4 4 5 ⋯ 5 1 5 2 5 3 4 5 ⋯ ⋮ ⋮ {Displaystyle {begin{array}{cccccccc}{Thrac {1}{1}}& {tfrac{1}{1}}& {tfrac{3}{4}}}& {Thrac{4}}& {displaystyle {Display{4}}} {Thrac{3}}{Thrac{3}{4}}& {Display{4}{5}{5}{5}{5}{5}}{5&{tfrac {1}{2}}&{tfrac {1}{3}}&{tfrac {1}{4}}&{Three&{tfrac {1}{5}}&cdots \&{tfrac {2}{1}}&&{tfrac {2}{2}}&&&{tfrac {2}{2}}&&&{tfrac {2}{3}}&&&{tfrac {2}{3}}&&&&&&&&&&{tfrac {2}{3}{3}{3{tfrac {2}{3}}&{tfrac {2}{4}}&{tfrac {2}{5}}&cdots&{tfrac {3}{2}}&{tfrac {3}{3}}&{tfrac {3}{4}}&{tfrac {3}{5}}&{cdots} \ \&&&&&&&&&#823\Ίταμμα για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για{tfrac {5}{4}}&&{Tfrac {5}{5}}}&Cdots \ \ \?

次に、図のように数を数えます。簡略化できる分数は省いてあります。

1 1 ( 1 ) → 1 2 ( 2 ) 1 3 ( 5 ) → 1 4 ( 6 ) 1 5 ( 11 ) → ↙ ↙ 2 1 ( 3 ) 2 2 ( ⋅ ) 2 3 ( 7 ) 2 4 ( ⋅ ) 2 5 ⋯ ↓ ↙ 3 1 ( 4 ) 3 2 ( 8 ) 3 3 ( ⋅ )3 4 3 5 ⋯ ↙ 4 1 ( 9 ) 4 2 ( ・ ) 4 3 4 4 5 ⋯ ↓ 5 1 ( 10 ) 5 2 5 3 5 4 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ { {begin{array}{lclclclc}{tfrac {1}{1}} }& {{color {Blue}(1)}} {displaystyle {}}}} ⋮ ↙ ⁾⁾ ⇥ ⋮ ⁾⁾ {displaystyle {}}} {displaystyle #2 {displaystyle #2 {displaystyle #2 {displaystyle #3 {displaystyle #3Brightarrow }&{tfrac {1}{2}} _{color {Blue}(2)}&{tfrac {1}{3}} _{color {Blue}(5)}&{tfrac {1}{4}} _{color {MidnightBlue}rightarrowBrightarrow }&{Tfrac {1}{4}} _{Color {Blue}(6)}&{Tfrac {1}{5}} _{Color {Blue}(11)}&&{Tfrac {1}{6}} {Color {MidnightBlue} (6) } & {Color {MidnightBlue} (6) }& {Tfrac {1}{7)Brightarrow }&{color {MidnightBlue}}swarrow }&{color {MidnightBlue}}nearrow }&&{brightarrow }&{color {MidnightBlue}}nearrow }&{brightarrow }&{color {MidnightBlue}}warrowBrightcolor {MidnightBlue}swarrow }&{Color {MidnightBlue}nearrow }&{Tfrac {2}{1}} {Color {Blue}(3) }&{Brightcolor {MidnightBlue}nearrow }&{Tfrac {2}{1} {Brightcolor {MidnightBlue}(3) }&{Brightcolor{MidnightBlue}nearrowBLEU} (\cdot )}&{Tfrac {2}{3}} {2}{4}} {{Blue} (\cdot )}&{Tfrac {2}{3}} {2}{3}} {{Blue} (7)}&&{Tfrac {2}{4}} {{Color (B)}&& {Thinkedit {2}{Blue}{Blue}(D)}アンド。&{tfrac {2}{5}}&{cdots} {{color {MidnightBlue}downarrow }&{color {MidnightBlue}nearrow }&& {cdots} {MidnightBlue}downarrow }&{cdots}{MidnightBlue}nearrow }&{cdots}{MidnightBlue}dinner{Detrospect C:³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³.pdfdfBlue}(8)}&{Tfrac {3}{3}} {Blue}(\cdot )}&{Tfrac {3}{4}}&{Tfrac {3}{4}}&{Tfrac {3}{5}} {Blue}(8) {Blue}(8) {Blue}(8) {Blue}(8) }&&{Tfrac {3}{5}{6}{6}} {Blue}(8){쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼쇼ഛഛ⑅\\Ίταμμα για για (9)}&&Ίταμμα (2)}&&Ίταμμα (3)}&&& ταμμα (4)}&& ταμμα (4)}& ταμμα (4)}& ταμα (4)}& ταμα (4)}& ταμα (4){tfrac {4}{4}}&&{Tfrac {4}{5}}&Cdots {{color {MidnightBlue}downarrow }&{color {MidnightBlue}nearrow }&&&&</c><color {MidnightBlue}nearrow }&&</c><c></c><br /></c></td&&&&</p> <p>_{color {Blue}(10)}&&{tfrac {5}{2}}&{tfrac {5}{3}}&{tfrac {5}{4

そうすると、端数がカウントされる。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 2 3 1 3 1 4 2 3 2 4 5 1 5 ⋯ {displaystyle {begin{array}{cccccccccc}{color {Blue}1}& {color {Blue}5}& {displaystyle{array}{cccccccccccccc}& {displaystyle {Blue}5}& {displaystyle}{displaystyle}{displaystyle}{displaystyle} {displaystyle}{displaystyle{Blue}2}&{Blue}3}&{Blue}4}&{Blue}5}&{Blue}6{Blue}6}&{Blue}7}&{Blue}8}&{Blue}9}&{Blue}10}&{Blue}11}&{Blue}10&{Blue}11{{color {Blue}Cdots }}[3pt]{{color {MidnightBlue}Downarrow }&{color {MidnightBlue}Cdownarrow }&{color {MidnightBlue}Cdownarrow }&{{color {Blue}Cdownarrow }}[3pt]{{color {MidnightBlue}Cadul}{{MidnightBlue}Cadul}{3pt}{3pt{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{color {MidnightBlue}}downarrow }& {{color {MidnightBlue}}downarrow }& {{color {MidnightBlue}}downarrow }& {{midnightBlue}downarrow{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{color #MidnightBlue #MidnightBlue #MidnightBlue #MIDNIGHTBLUE}}とあるように。{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{color {MidnightBlue}}downarrow }}[3pt]1&{{tfrac {1}{2}}&2&3&{tfrac {1}{3}}&{tfrac {1}{4}}&{tfrac {2}{3}}&{tfrac {3}{2}}&4&5&{tfrac {1}{5}}&cdots \end{array}}} {tfrac {1}{3}{4}{4}{5}{5}{5}{5}{5}}となる。

まだ簡略化できる分数を省くことで、自然数の各要素と分数の1つの要素を関連付ける双射が存在するのである。

すべての自然数と分数が同じ基数であることを示すために、0を加える必要がある。各分数の後にその負を加える。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 - 1 1 2 - 12 2 - 2 3 - 3 1 3 - 1 3 1 4 - 1 4 2 3 - 2 3 ⋯ {displaystyle {begin{array}{cccccccccccc}{color {Blue}1}&{Blue}2}&{Blue}3}&{Blue}4}&{Blue}5}&{Blue}6}&{Blue}7}&{Blue}5}&{Blue}6}&{Blue}6}&{Blue}7}&{Blue}8{Blue}8}&{Blue}9}&{Blue}10}&{Blue}11}&{Blue}12}&{Blue}13}&{Blue}14}&{Blue}15}&{Blue}16{{color {Blue}Cdots }}[3pt]{{color {MidnightBlue}downarrow }&{{color {MidnightBlue}downarrow }&{{color {MidnightBlue}Downarrow }}&{{color {MidnightBlue}Cadarrow }}[3pt]{ミッドナイトブルーディープロー}}{{MidnightBlue}ダウンロー }}& {MidnightBlue}Cadarrow {ミッドナイトブルーディープロー}{ミッドナイトブルーディープ}{ミッドナイトブルーディープロー}}{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{midnightBlue}downarrow }&{midnightBlue} ダウンローダー。{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{{color {MidnightBlue}}downarrow }&{color {MidnightBlue}}downarrow }&{color {MidnightBlue}}downarrow }& {Color {MidnightBlue}downarrow}& {MadnightBlue}downarrow}& {MadnightBlue}downarrow}& {{{color {MidnightBlue}}downrow0&1&-1&{Tfrac {1}{2}}&-{Tfrac {1}{2}}&-{Tfrac {1}{2}}&-[3pt]0&{Tfrac {1}{2}}&-{Tfrac {1}{2}}&-{Tfrac [3pt] 0&1&-1&{Tfrac {1}{2}}&-{Tfrac [3pt] 0&{Tfrac [3pt] 0&{2}}&-{Tfrac [3pt] 0&{2}{2}}&-{Tfrac [4pt2&-2&3&-3&{tfrac {1}{3}}&-{tfrac {1}{3}}&{tfrac {1}{4}}&-{tfrac {1}{4}}&{tfrac {2}{3}}&-{tfrac {2}{3}}&cdots \{array}}}

そうすると、各自然数に対して分数を関連付ける完全な双対射が存在する。つまり、両集合は同じ基数を持っている。現在では、自然数の集合と同じ数の要素を持つ集合を可算集合と呼ぶ。自然数より少ない要素しか持たない集合は、最大可算集合と呼ばれる。この定義に従えば、有理数・分数の集合は可算である。

無限集合は、しばしば直感に反する性質を持つ。ヒルベルトは、「ヒルベルトのグランドホテルのパラドックス」と呼ばれる実験で、これを示しました。

実数の集合は自然数の集合と同じ基数ではなく、自然数より実数の方が多いのであるから、実数の集合は自然数の集合と同じ基数である。このような考え方が、彼の証明に影響を与えた。1891年の論文で、カントールは2進数（各桁が0か1）の無限列の集合Tを考えた。

彼はまず、次の定理の構成的証明から始める。

s₁ , s₂ , ... , s_n , ...をTからの要素の列挙とすると、列挙中のs_n に対応しないTの要素sが常に存在する。

これを証明するために、例えばTからの要素の列挙が与えられる。

sは^th，1桁目をs₁ の1桁目と相補的に選び（0と1を入れ替え），2桁目をs₂ の2桁目と相補的に，3桁目をs₃ の3桁目と相補的に，一般にn毎に，n桁目をs_n のn^th と相補的に選んで構成します． 例では，この結果となっています．

構成上、sは各s_n と異なり、そのn^th 桁は異なる（例では強調表示）。したがって、sは列挙の中に出現することはできない。

この定理をもとに、カントールは矛盾による証明で次のことを示す。

集合Tは不可算である。

彼は矛盾のためにTが可算であったと仮定する。その場合、そのすべての要素は列挙 s₁ , s₂ , ... , s_n , ... として書くことができる。この列挙に先の定理を適用すると、列挙に属さない数列sが生成される。しかし、sはTの要素であり、したがって列挙に含まれるはずである。これは最初の仮定と矛盾するので、Tは数えられないものでなければならない。