射影関数

基本特性

正式には

f :A → B {\displaystyle f:Arightarrow B} is bijective function if ∀ b∈ B {displaystyle \forall bintin B} there is a unique ∈ A {displaystyle ain A} such that f ( a ) = b .{displaystyle f(a)=b***,.}

また、要素b {\displaystyle b} は、要素a {\displaystyle a} のイメージと呼ばれる。

• 正式な定義では、次のようになる。コード領域Bのすべての要素は、領域Aのちょうど1つの要素のイメージである。

また、要素a {\displaystyle a} は、要素b {\displaystyle b} の前画像と呼ばれる。

• 正式な定義では、次のようになる。コード領域Bの各要素は、領域Aにちょうど1つの前画像を持つ。

注）サーボジェクションは、最小1枚のプリ画像です。射出は、最大1つの前画像を意味する。つまり、両射影は正確に1つの前画像を意味します。

カードリッジ

カージナリティとは、集合に含まれる要素の数のことです。A={X,Y,Z,W}のカージナリティは4であり、#A=4と表記する。

• 定義2つの集合AおよびBが同じ基数を持つのは、その集合の間に双射が存在する場合である。つまり、#A=#BはAからBへの双射が存在することを意味する。

双投影と逆関数

• 両投影は、矢印を逆にすると反転します。新しい関数は逆関数と呼ばれる。

形式的にはf : A → B を双対射とする。逆関数g : B → Aはif f(a)=b, then g(b)=a で定義される。(逆関数も参照。)

• 逆関数の逆関数は元の関数である。
• 関数が逆関数を持つのは、それが双射である場合のみである。

注：fの逆関数の表記は紛らわしい。すなわち

  f - 1 ( x ) {displaystyle f^{-1}(x)} は関数 f の逆関数を示すが、x - 1 = 1 x {displaystyle x^{-1}={쇼frac {1}{x}} は数 x の逆数値を示す。

例

基本機能

f(x):ℝ→ℝを実数値引数xの実数値関数y=f(x)とする（つまり入力も出力も数である）。

• グラフィックの意味関数fは、すべての水平線がfのグラフとちょうど1点で交差するとき、双射である。
• 代数的な意味。関数 f は、すべての実数 y_o に対して、y_o =f(x_o ) となる少なくとも一つの実数 x_o を見つけることができ、f(x_o )=f(x₁ ) ならば x_o =x₁ となるとき、双射であるという。

例斜線の一次関数は、双射である。すなわち、y=ax+bここでa≠0は両射影となる。

ディスカッションすべての水平線は、斜めの線とちょうど1点で交差する（証明は、surjectionとinjectionを参照）。画像1.

例3次の多項式関数：f(x)=x³ は、双射である。画像2、画像5薄い黄色の曲線。その逆は立方根関数f(x)=∛で、これも双射 f(x):ℝ→ℝ である。画像5：緑の太い曲線。

例二次関数f(x) = x² は、（ℝから）双対でない。画像3。超射影ではありません。射影でもない。しかし、ドメインとコードメインの両方を非負の数の集合 (0,+∞) に制限すると、（可逆）両射影が得られます（以下の例参照）。

• じょういき
• ファンクションマシン
• せいちゅうりょういき

例関数マシンがf(x)=x²であるとする．

• この機械とdomain=ℝ、codomain=ℝは、surjectionでもinjectionでもない。しかし
• この同じ機械で domain=[0,+∞) と codomain=[0,+∞) は surjection と injection の両方であり、bijection である。

双射影とその逆像

f(x):A→Bとし、A、Bはℝの部分集合とする。

• fが双射でないとする。f の微分が存在し、0 でない任意の x に対して、f のドメインとコドメインを二分するように制限できる x の近傍領域が存在する。
• 逆関数のグラフは、直線y=xに対して対称である。(逆関数の項も参照)。

例制限領域と共圏[0,+∞]で定義される2次関数

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ]である。→ [ 0 , + ∞ ){displaystyle f(x):[0,+infty )\,[0,+infty )} defined by f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2}}}.

は双射である。画像6：細い黄色の曲線。

例制限領域と共圏[0,+∞]で定義された平方根関数

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ]である。→ [ 0 , + ∞ ){displaystyle f(x):[0,+infty )\,[0,+infty )} defined by f ( x ) = x {displaystyle f(x)={sqrt {x}}} ...

は、2次関数の逆関数として定義されるバイジェクションです：x² . 画像6：太い緑の曲線。

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\rightarrow \,(0,+infty )} defined by f ( x ) = a x , a > 1 {displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,a>1} .

は双射である。画像4：細い黄色の曲線(a=10)。

例制限領域(0,+∞)とコード領域ℝで定義された対数関数base aは

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {displaystyle f(x):(0,+infty )\,\rightarrow \,\mathbf {R} } defined by f ( x ) = log a x , a > 1 {displaystyle f(x)=log _{a}x\,,\,a>1} ...

は、指数関数の逆関数として定義されるバイジェクションです：a^x 。 画像4：太い緑の曲線（a=10）。

関連ページ

• 関数（数学）
• 投影関数
• 射出成形機能
• 逆関数