全単射（1対1対応）とは：注入と全射を満たす写像の定義と性質

全単射（1対1対応）の定義と性質を図解と例でわかりやすく解説。注入・全射の違いや性質、応用まで数学初心者から研究者まで役立つ入門ガイド。

著者: Leandro Alegsa 作成日: 2022年4月20日 最終更新: 2026年1月2日

数学において、全単射（1対1対応、双射）とは、f : A → B が単射（異なる元を異なる像に写す）かつ全射（像が余らない）を同時に満たす写像のことである。言い換えると、任意の B の要素 b に対して、A の要素 a がただ1つ存在して f(a) = b となることを意味する。全単射の別名として 1対1対応 や双射と呼ばれることがある。

標準的には「単射」「全射」という用語を用いるが、本文中の表記（例：超射影の）は参照ページの表現を保っている。関数や集合の語についてはここで使った他の用語（例：関数、領域や余域など）を参照されたい。

定義（形式）

写像 f : A → B が全単射であるとは、次のいずれか（かつ両方）を満たすことと同値である。

任意の b ∈ B に対して、ただ1つの a ∈ A が存在して f(a) = b となる。
f が単射かつ全射である（単射：異なる元は異なる像、全射：像集合が余域 B 全体に等しい）。

主要な性質

逆写像の存在と一意性：f が全単射ならば、逆写像 f⁻¹ : B → A が存在し一意である。逆に逆写像が存在すれば f は全単射である。
合成に関する閉性：全単射同士の合成は全単射である。さらに (g ◦ f)⁻¹ = f⁻¹ ◦ g⁻¹ が成り立つ。
可逆性：全単射は可逆であり、逆写像も全単射である。
濃淡（位相）や構造の保存：集合の元の一対一対応を与えるため、集合の濃度（基数）を比較する際に用いられる。特に有限集合では、|A| = |B| であることと A と B の間に全単射が存在することは同値である。
置換（Permutation）：集合 A から A への全単射は A の順列（置換）と呼ばれる。有限集合上の全単射は対称群の元となる。

簡単な例と非例

例：整数全体 Z から Z への写像 f(x)=x+1 は全単射である（逆写像は f⁻¹(x)=x−1）。
例：実数全体 R から R の写像 f(x)=2x は全単射である（逆は f⁻¹(x)=x/2）。
非例：Z → Z で g(x)=2x は単射だが全射ではない（奇数は像にならない）。
有限集合の例：A={1,2,3} 上の写像で 1↔2、3↔3 のような置換は全単射である。

判定の目安

単射かどうかを調べるには、異なる元が同じ像にならないか（f(a1)=f(a2) なら a1=a2）を確認する。
全射かどうかを調べるには、余域 B の任意の元が像として現れるか（任意の b∈B に対して解 a が存在するか）を確認する。
有限集合の場合、単射であれば自動的に全射（およびその逆）になる。ただし無限集合ではこの簡便な判定は使えない。

用語の由来については、歴史的にさまざまな表現がある。本文中の表記では、関連する概念（たとえば超射影、射影という語）や命名法がどのように定着したかが示されている。たとえば「両射影」という語やそれに関連する用語群は、ニコラス・ブルバキ（Bourbaki）の集合論や写像に関する体系の影響を受けて広まった面がある。

さらに詳しくは、関数や写像、単射・全射について説明した参考資料（上記のリンク先や集合論の教科書）を参照されたい。関数、領域・余域、逆写像の取り扱いは、写像を扱う際の基本となる。

基本特性

正式には

f :A → B {\displaystyle f:Arightarrow B} $f:A\rightarrow B$ is bijective function if ∀ b∈ B {displaystyle \forall bintin B} $\forall b\in B$ there is a unique ∈ A {displaystyle ain A} $a\in A$ such that f ( a ) = b .{displaystyle f(a)=b***,.} $f(a)=b\,.$

また、要素b {\displaystyle b} $b$ は、要素a {\displaystyle a} のイメージと呼ばれる。

正式な定義では、次のようになる。コード領域Bのすべての要素は、領域Aのちょうど1つの要素のイメージである。

また、要素a {\displaystyle a} は、要素b {\displaystyle b} $b$ の前画像と呼ばれる。

正式な定義では、次のようになる。コード領域Bの各要素は、領域Aにちょうど1つの前画像を持つ。

注）サーボジェクションは、最小1枚のプリ画像です。射出は、最大1つの前画像を意味する。つまり、両射影は正確に1つの前画像を意味します。

カードリッジ

カージナリティとは、集合に含まれる要素の数のことです。A={X,Y,Z,W}のカージナリティは4であり、#A=4と表記する。

定義2つの集合AおよびBが同じ基数を持つのは、その集合の間に双射が存在する場合である。つまり、#A=#BはAからBへの双射が存在することを意味する。

双投影と逆関数

両投影は、矢印を逆にすると反転します。新しい関数は逆関数と呼ばれる。

形式的にはf : A → B を双対射とする。逆関数g : B → Aはif f(a)=b, then g(b)=a で定義される。(逆関数も参照。)

逆関数の逆関数は元の関数である。
関数が逆関数を持つのは、それが双射である場合のみである。

注：fの逆関数の表記は紛らわしい。すなわち

f - 1 ( x ) {displaystyle f^{-1}(x)} $f^{-1}(x)$ は関数 f の逆関数を示すが、x - 1 = 1 x {displaystyle x^{-1}={쇼frac {1}{x}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$ は数 x の逆数値を示す。

例

基本機能

f(x):ℝ→ℝを実数値引数xの実数値関数y=f(x)とする（つまり入力も出力も数である）。

グラフィックの意味関数fは、すべての水平線がfのグラフとちょうど1点で交差するとき、双射である。
代数的な意味。関数 f は、すべての実数 y_o に対して、y_o =f(x_o ) となる少なくとも一つの実数 x_o を見つけることができ、f(x_o )=f(x₁ ) ならば x_o =x₁ となるとき、双射であるという。

ある関数が双射であることを証明することは、それが超射であり射であることを証明することを意味します。ですから、形式的な証明はほとんど簡単ではありません。以下では、議論して証明しない。(超射影と射影を参照)。

例斜線の一次関数は、双射である。すなわち、y=ax+bここでa≠0は両射影となる。

ディスカッションすべての水平線は、斜めの線とちょうど1点で交差する（証明は、surjectionとinjectionを参照）。画像1.

例3次の多項式関数：f(x)=x³ は、双射である。画像2、画像5薄い黄色の曲線。その逆は立方根関数f(x)=∛で、これも双射 f(x):ℝ→ℝ である。画像5：緑の太い曲線。

例二次関数f(x) = x² は、（ℝから）双対でない。画像3。超射影ではありません。射影でもない。しかし、ドメインとコードメインの両方を非負の数の集合 (0,+∞) に制限すると、（可逆）両射影が得られます（以下の例参照）。

注：この最後の例はこれを示している。ある関数が双射であるかどうかを判断するためには、3つのことを知る必要があります。

じょういき
ファンクションマシン
せいちゅうりょういき

例関数マシンがf(x)=x²であるとする．

この機械とdomain=ℝ、codomain=ℝは、surjectionでもinjectionでもない。しかし
この同じ機械で domain=[0,+∞) と codomain=[0,+∞) は surjection と injection の両方であり、bijection である。

双射影とその逆像

f(x):A→Bとし、A、Bはℝの部分集合とする。

fが双射でないとする。f の微分が存在し、0 でない任意の x に対して、f のドメインとコドメインを二分するように制限できる x の近傍領域が存在する。
逆関数のグラフは、直線y=xに対して対称である。(逆関数の項も参照)。

例制限領域と共圏[0,+∞]で定義される2次関数

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ]である。→ [ 0 , + ∞ ){displaystyle f(x):[0,+infty )\,[0,+infty )} $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ defined by f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2}}}. $f(x)=x^{2}$

は双射である。画像6：細い黄色の曲線。

例制限領域と共圏[0,+∞]で定義された平方根関数

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ]である。→ [ 0 , + ∞ ){displaystyle f(x):[0,+infty )\,[0,+infty )} $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ defined by f ( x ) = x {displaystyle f(x)={sqrt {x}}} ... $f(x)={\sqrt {x}}$

は、2次関数の逆関数として定義されるバイジェクションです：x² . 画像6：太い緑の曲線。

例領域ℝと制限された共圏(0,+∞)で定義された指数関数

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\rightarrow \,(0,+infty )} $f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )$ defined by f ( x ) = a x , a > 1 {displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,a>1} . $f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1$

は双射である。画像4：細い黄色の曲線(a=10)。

例制限領域(0,+∞)とコード領域ℝで定義された対数関数base aは

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {displaystyle f(x):(0,+infty )\,\rightarrow \,\mathbf {R} } $f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R}$ defined by f ( x ) = log a x , a > 1 {displaystyle f(x)=log _{a}x\,,\,a>1} ... $f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1$

は、指数関数の逆関数として定義されるバイジェクションです：a^x 。画像4：太い緑の曲線（a=10）。

双射：（ドメイン内の）すべての垂直線と（コドメイン内の）すべての水平線は、グラフのちょうど1つの点と交差する。

1.双曲線。斜線はすべて双射 f(x):ℝ→ℝ である。

2.双射。f(x):ℝ→ℝ。f(x)=x³。

3.f(x):ℝ→ℝ f(x)=x²は逆射影ではありません。射出ではない。

4.f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10^x (薄い黄色)とその逆 f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log₁₀ x (濃い緑)です。

5.f(x):ℝ→ℝ f(x)=x³ (薄い黄色) とその逆 f(x)=∛ (濃い緑).

6.f(x):[0,+∞]→[0,+∞). f(x)=x² (薄い黄色) とその逆 f(x)=√x (濃い緑).

質問と回答

Q: 両対称関数とは何ですか。

A: 両射影関数（bijection）とも呼ばれ、射影と超射影の両方を持つ数学関数です。

Q: 関数が射出であるとはどういう意味ですか?

A: 射出とは，領域A内の任意の2つの要素aおよびa'に対して，f(a)=f(a')ならば，a=a'であることを意味します．

Q: 関数がサージャクションであるとはどういう意味ですか?

A: 共領域B内のすべての要素bに対して，領域A内にf(a)=bとなる要素aが少なくとも1つ存在することを意味します．

Q: 双射の等価表現は?

A: 双射に関する等価な記述は、共領域Bのすべての要素bに対して、f(a)=bとなるような要素aが領域Aにちょうど1つ存在することです。

Q: 双射の別の名前は何ですか?

A: 双射は「1-1対応」または「1対1対応」とも呼ばれます。

Q: 両射影，超射影，射影という用語は誰が導入したのですか?

A: 両射影、超射影、射影という用語は、1930年代にニコラ・ブルバキと他の数学者のグループによって導入されました。

Q: ブルバキと他の数学者たちは1930年代に何を発表したのですか?

A: ブルバキと他の数学者たちは、現代の先端数学に関する一連の本を出版しました。

著者

AlegsaOnline.com - 射影関数 - Leandro Alegsa

作成日: 2022年4月20日
最終更新: 2026年1月2日

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