余角：定義・性質・三角関数における重要性

定義と基本的性質

角θに対し、θ + φ = 90°（またはθ + φ = π/2）を満たす角φを、θの余角という。θの余角は通常、90° − θと表される。ラジアンで測る場合はπ/2 − θである。主な性質は次のとおりである。

• 余角の組をなす二つの角は通常、ともに鋭角（0°より大きく90°未満）である。ただし退化した場合には、一方が0°、他方が90°となることがある。
• 隣り合う二つの角が余角である場合、それぞれの共通でない辺は共通の辺に垂直な一直線をなし、頂点に直角ができる。

計算と例

余角を求めるには、与えられた角の大きさを90°から引く。たとえば30°の余角は60°であり、30° + 60° = 90°である。ラジアンでは、π/6の余角はπ/3である。これはπ/6 + π/3 = π/2となるためである。角が90°を超える場合、通常の意味では正の余角をもたない。

三角関数における重要性

余角は、正弦はその余角の余弦に等しいという重要な三角関数の恒等式、sin(θ) = cos(90° − θ)の基礎となる。この対称性は余関数を結び付け、直角三角形に関する三角法や解析的な計算を簡潔にする。角の測定については標準的な定義を参照し、関連する恒等式については三角関数の余関数を参照されたい。

補角との違いと用途

余角は、和が180°となる補角とは異なる。余角は幾何学の問題、直角を扱う工学的応用、直角の関係を必要とする証明でよく用いられる。歴史的にこの概念は古典幾何学の基礎的なものであり、角の分類の一部として初等教育にも現れる。