複素数とは？定義・表記・演算・歴史と虚数iの基礎をやさしく解説

複素数の定義・表記・演算から虚数単位iの意味と歴史まで、図解と例でやさしく学べる高校・大学生向け入門ガイド。

著者: Leandro Alegsa

21-09-2025 17:50

複素数は数の一種で、実数と虚数の組み合わせで表されます。複素数は二つの成分からなり、第一成分が実数、第二成分が虚数です。最も基本的な虚数単位はi {\displaystyle i $i$ }と定義され、二乗すると-1になります： i 2 = i × i = -1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1 }。 $i^{2}=i\times i=-1\$ つまり虚数は実数にこの虚数単位を掛け合わせたものとして表せます。複素数上では足し算、引き算、掛け算、割り算などの算術演算が定義され、実数と同様に可換性、連想性、分配性の性質に従います。

なぜ複素数が必要か（発見の背景）

負の数の平方根を考えると、実数だけでは解けない方程式が出てきます。たとえば、実数だけを許す場合には 3 + x = 1 のように解がないことがあるのと同様に、指数（平方根）に関する方程式では、2乗して-1になる実数は存在しません。言い換えれば、-1（や他の負の数）には実数の平方根がないのです。例えば、( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9 $(x+1)^{2}=-9$ を実数の範囲で解くことはできません。この問題を解決するために、数学者たちは虚数単位 i を導入しました。i は二乗すると -1 になる数、すなわち虚数です。

表記と用語

すべての複素数は次のように表されます： a + b i {displaystyle a+bi} $a+bi$ （または a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i $a+b\cdot i$ ））。ここで a をその複素数の実部、b を虚部と呼びます。複素数 z の実部は ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} $\Re (z)$ または Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)} $\operatorname {Re} (z)$ と書き、虚部は AsidealeLu_2111 SOE (z ) {\displaystyle \Im (z)} $\Im (z)$ または Im (z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)} $\operatorname {Im} (z)$ と書きます。つまり z = a + b i ならば a = ℜ(z), b = Im(z) です。

複素数は順序対 (a, b) としても表せます。どちらも実数で、実数 a は複素数としては a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} $a+0\cdot i$ または (a,0) と表されます。

演算のルール（基礎）

加減: 成分ごとに行います。 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
掛け算: (a+bi)(c+di)= (ac−bd) + (ad+bc)i（ここで i^2 = −1 を使います）。
除算: 分母の複素共役を掛けて有理化します。たとえば (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c−di)]/(c^2+d^2)。共役 z̄ は a−bi です。
絶対値（大きさ）: |a+bi| = √(a^2+b^2)。
共役: z = a+bi の共役は z̄ = a−bi。乗算や除算でよく使います。

幾何学的な解釈

複素数は平面上の点として表現できます。横軸を実軸、縦軸を虚軸とする複素平面（アルガンド図）で、点 (a,b) が複素数 a+bi に対応します。原点からの距離が絶対値 |z|、原点と点を結ぶ線が作る角度が偏角（引数）と呼ばれます。

極形式とオイラーの公式

複素数 z を極形式で表すと z = r(\cos θ + i\sin θ)（r≥0, θ は偏角）となり、これを指数表示で z = r e^{iθ} と書くこともできます。ここでの基本はオイラーの公式 e^{iθ} = \cos θ + i\sin θ です。極形式は乗除や累乗・根の計算を簡単にします（偏角の加減、絶対値の乗算など）。

歴史と主な貢献者

負の数や平方根に関する問題を扱う中で、複素数の考え方が徐々に発展しました。これを最初に応用した数学者は、おそらくゲロラモ・カルダーノとラファエレ・ボンベッリであり、16世紀に複素数に相当する考え方が現れました。後に表記や理論を整備したのは、レオンハルト・オイラーやカール・フリードリヒ・ガウスなどです。複素数は代数学・解析学・物理学の重要な道具となりました。

記法の注意（i と j）

虚数単位は通常 i と書きますが、i {\displaystyle i $i$ }の代わりに j {\displaystyle j $j$ と表すこともあります。特に電気工学では電流を表す記号として i を使うため、虚数単位には j を使う慣習があります（電流の i と混同しないため）。

集合記号

すべての複素数の集合は通常 C {\displaystyle \mathbb {C}と表します。 $\mathbb {C}$

応用例（簡単な例）

方程式 (x+1)^2 = −9 の解は x+1 = ±3i なので x = −1 ± 3i となります（虚数単位を用いると解が得られます）。( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9} $(x+1)^{2}=-9$
電子工学・信号処理では交流回路の位相や振幅、フーリエ解析では周波数成分の表現に複素数が不可欠です。
物理学や制御理論、流体力学、量子力学など多くの分野で複素数を用いた表現が使われます。

以上が複素数の基本的な定義、表記、演算、歴史および応用の概略です。複素数の理解を深めると、代数方程式の解法や関数解析、そして現代の工学的応用まで幅広く役立ちます。

複素数に対する演算

足し算、引き算、掛け算、除算（除数がゼロでない限り）、指数計算（指数に数値を上げる）はすべて複素数で可能です。その他の計算も複素数で可能である．

複素数の足し算引き算のルールはかなりシンプルです。

Let z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} {displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} }。 $z=(a+bi),w=(c+di)$ ｉ {displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i $z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ } .and z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} . $z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

掛け算はちょっと違う。

z⋅w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i .ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝ａｃ＋ｂｃｉ＋ａｄ＋ｂｄｉ^{2}=（ａｃ-ｂｄ）＋（ｂｃ＋ａｄ）ｉ.} $z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

複素数のもう一つの注目すべき操作は、共役化である。A complex conjugate z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} ${\overline {z}}$ to z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ is a - b i {displaystyle a $a-bi$ -bi} .簡単なことだけど、計算する上で重要なことなんだよ $z$ 。

z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}}}}。 $z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}$ .

これを使って割り算をすることができます。

1 z = z ¯ z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{z}}{z}}}}={frac {a-.bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i )・・・ ( a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) .{displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).} ${\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).$

複素数を記述する他の形式

複素数は、いわゆる複素平面上に表示することができる。数 z = a + b i {\displaystyle z=a+bi $z=a+bi$ } があれば、実軸上の点と虚軸上の点に行き、 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} $(0,0)$ から ( a , b ) {displaystyle (a,b)} $(a,b)$ までのベクトルを描くことができる。このベクトルの長さは、ピタゴラスの定理と正の実軸とこのベクトルとの角度を反時計回りに計算することができる。数z {\displaystyle z $z$ }のベクトルの長さをその係数（｜z｜\displaystyle |z|} $|z|$ と書く）といい、角度をその引数（arg z {\displaystyle ≦arg z $\arg z$ }）という。

これは、複素数を記述する三角法の形式につながる：正弦と余弦の定義によって、すべてのz {displaystyle z $z$ }のために、次のようになります。

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) .♪displaystyle z=|z|(\cos \arg z+isin arg z).} $z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).$

これはデ・ムーヴルの公式と密接に関係しています。

指数形と呼ばれる別の形も存在します。

複素数は、複素平面を表すアルガンド図上でベクトルを形成する2つの数として視覚的に示すことができます。

結論

数学に複素数を追加すると、複素数の係数を持つすべての多項式は、複素数である根を持っています。数学への複素数の成功の追加はまた、例えば、多くの異なる問題を解決し、説明するのに役立つことができる数の別の種類の作成への道を開くのに役立ちました：超複素数、sedenion、超実数、超実数および他の多くの。数字の種類を参照してください。

質問と回答

Q:複素数とは何ですか?

A:複素数とは2つの部分からなる数で、最初の部分は実数、2番目の部分は虚数である。

Q:最も重要な虚数は何ですか?

A:最も重要な虚数はiと呼ばれ、2乗すると-1になる数として定義されています。

Q:算術関数は複素数でどのように使われるのですか?

A:加算、減算、乗算、除算などの算術関数は、複素数でも使用できます。また、実数と同じように可換、連想、分配の性質があります。

Q:複素数の集合を表す記号は何ですか?

A:複素数の集合は、しばしばCという記号で表されます。

Q:なぜ複素数が発見されたのですか?

A:複素数は，指数関数が含まれる特殊な方程式を解こうとして発見されたもので，数学者にとって現実的な問題であったからです．

Q:誰がこの種の数のiの表記を導入したのでしょうか?

A:おそらくレオンハルト・オイラーがiと書くことを導入したのでしょう．

Q:複素数はどのように順序付きペアで書くことができますか?

A:複素数は，aもbも実数である順序付きペア（a，b）として書くことができます．

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