複素数
複素数とは数のことですが、一般的な数とは様々な点で異なります。複素数は、2つの数字を組み合わせて構成されています。最初の部分は実数です。複素数の２番目の部分は 虚数です。最も重要な虚数はi {\displaystyle i
}と呼ばれ、二乗すると-1になる数として定義されている： i 2 = i × i = -1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1 }。
.他の虚数は、実数に実数を掛けた i {\displaystyle i}であり、すべての実数が 1 に別の数を掛けたと考えることができるのと同じように、実数に 1 を掛けたものである。複素数では、足し算、引き算、掛け算、割り算などの算術関数が使える。また、それらは実数と同様に、可換性、連想性、分配性の性質に従う。
複素数は、その中に指数を持つ特殊な方程式を解こうとしているときに発見されました。これらは、数学者に現実的な問題を提起し始めた。比較として、負の数を使うと、aとbのすべての実数に対して、a + x = b {\displaystyle a+x=b}
の式の中のxを求めることができるが、xに正の数しか許されない場合、3 + x = 1の式のように、正のxを求めることができないことがある。
指数の場合は、難しいところがあります。それは、2乗したときに-1を与える実数は存在しないということです。言い換えれば、-1（または他の負の数）には、実数の平方根がないのである。例えば、( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9
} を解く実数 x {\displaystyle x
} はない。この問題を解くために、数学者たちは、iという記号を導入して、これを虚数と呼んだ。これは、二乗すると-1が出る虚数である。
これを最初に考えた数学者は、おそらくゲロラモ・カルダーノとラファエレ・ボンベッリであろう。彼らは１６世紀に生きていた。それはおそらくレオンハルト・オイラーであった。その数だけ 
すべての複素数は a + b i {displaystyle a+bi}と書ける。
(or a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i
} )と書き、aを数の実部、bを虚部と呼ぶ。ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
or Re ( z ) {\displaystyle 操り人形名 {Re} と書く。(z)} 
for a real part of a complex number z {\displaystyle z
} .だから z = a + b i {\displaystyle z=a+bi
}ならば a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=operatorname {Re}と書く。(z)}
.同様に、我々は、"AsidealeLu_2111 SOE (z ) {\displaystyle \Im (z)} 
or Im (z ) {\displaystyle \operatorname {Im}"と書く。(z)} 
for a imaginary part of a complex number z {\displaystyle z} ; b = ✿Lu_211111 ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=Im (z)=operatorname {Im} }(z)}
複素数は、(a,b)という順序対としても書くことができます。aもbも実数です。どんな実数でも、a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}と書く
か、(a, 0)と書く。
i {\displaystyle i}の代わりに j {\displaystyle j
}と書くこともある。電気工学では、i {displaystyle i}は電流を意味する。i {displaystyle i}って書くと、電気工学の中には複雑な数字があるから、 いろいろと問題になるんだよ。
すべての複素数の集合は、通常、C {\displaystyle \mathbb {C}と書きます。}
.
複素数に対する演算
足し算、引き算、掛け算、除算（除数がゼロでない限り）、指数計算（指数に数値を上げる）はすべて複素数で可能です。その他の計算も複素数で可能である．
複素数の足し算引き算のルールはかなりシンプルです。
Let z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} {displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} }。
ｉ {displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
} .and z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} .
掛け算はちょっと違う。
z⋅w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i .ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝ａｃ＋ｂｃｉ＋ａｄ＋ｂｄｉ^{2}=（ａｃ-ｂｄ）＋（ｂｃ＋ａｄ）ｉ.} 
複素数のもう一つの注目すべき操作は、共役化である。A complex conjugate z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} 
to z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} is a - b i {displaystyle a
-bi} .簡単なことだけど、計算する上で重要なことなんだよ。
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}}}}。
.
これを使って割り算をすることができます。
1 z = z ¯ z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{z}}{z}}}}={frac {a-.bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i )・・・ ( a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) .{displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).} 
複素数を記述する他の形式
複素数は、いわゆる複素平面上に表示することができる。数 z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} があれば、実軸上の点と虚軸上の点に行き、 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
から ( a , b ) {displaystyle (a,b)}
までのベクトルを描くことができる。このベクトルの長さは、ピタゴラスの定理と正の実軸とこのベクトルとの角度を反時計回りに計算することができる。数z {\displaystyle z}のベクトルの長さをその係数（｜z｜\displaystyle |z|}
と書く）といい、角度をその引数（arg z {\displaystyle ≦arg z
}）という。
これは、複素数を記述する三角法の形式につながる：正弦と余弦の定義によって、すべてのz {displaystyle z}のために、次のようになります。
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) .♪displaystyle z=|z|(\cos \arg z+isin arg z).} 
これはデ・ムーヴルの公式と密接に関係しています。
指数形と呼ばれる別の形も存在します。
複素数は、複素平面を表すアルガンド図上でベクトルを形成する2つの数として視覚的に示すことができます。
結論
数学に複素数を追加すると、複素数の係数を持つすべての多項式は、複素数である根を持っています。数学への複素数の成功の追加はまた、例えば、多くの異なる問題を解決し、説明するのに役立つことができる数の別の種類の作成への道を開くのに役立ちました：超複素数、sedenion、超実数、超実数および他の多くの。数字の種類を参照してください。
質問と回答
Q:複素数とは何ですか?
A:複素数とは2つの部分からなる数で、最初の部分は実数、2番目の部分は虚数である。
Q:最も重要な虚数は何ですか?
A:最も重要な虚数はiと呼ばれ、2乗すると-1になる数として定義されています。
Q:算術関数は複素数でどのように使われるのですか?
A:加算、減算、乗算、除算などの算術関数は、複素数でも使用できます。また、実数と同じように可換、連想、分配の性質があります。
Q:複素数の集合を表す記号は何ですか?
A:複素数の集合は、しばしばCという記号で表されます。
Q:なぜ複素数が発見されたのですか?
A:複素数は，指数関数が含まれる特殊な方程式を解こうとして発見されたもので，数学者にとって現実的な問題であったからです．
Q:誰がこの種の数のiの表記を導入したのでしょうか?
A:おそらくレオンハルト・オイラーがiと書くことを導入したのでしょう．
Q:複素数はどのように順序付きペアで書くことができますか?
A:複素数は，aもbも実数である順序付きペア（a，b）として書くことができます．
