加法（数学）

基本的性質

よく知られた数体系の大部分では、加法はいくつかの基本法則を満たす。すなわち、可換的であり（a + b = b + a）、結合的であり（(a + b) + c = a + (b + c)）、単位元をもつ（a + 0 = a であるため、0が単位元である）。整数および実数の算術では、各要素には加法逆元（−a）があり、a + (−a) = 0 となる。通常の数体系では、加法は乗法に対して分配的である。

拡張と例

単純な数を超えて、加法は対応する成分を組み合わせることでベクトルや行列にも定義できる。例えば、(1,2) + (3,4) = (4,6) である。ベクトルの加法は、力、速度、その他の量を組み合わせるために物理学や工学で広く用いられる。ベクトルを参照。行列は、同じ次元をもつ場合に各成分ごとに加えられる。行列を参照。多くのプログラミング言語では、+ は数値型の基本演算子として実装され、しばしば文字列や他の構造に対してもオーバーロードされる。

歴史と記法

実用的な加法は、トークン、数え棒、小石を用いる初期の計数法にまでさかのぼる。現代のプラス記号（+）と「plus」という語は、中世後期からルネサンス初期にかけてのヨーロッパの算術書に現れる。この記号は、算術および代数の記法の発展に伴って標準化された。多くの項の和は、大文字のシグマ Σ を用いて表されることが多く、級数と微積分の中心的な概念である。

用途、変種および主な区別

• 繰り返し加法は乗法の基礎となる。n に m を掛けることは、n を m 回加えることである。
• 合同算術では、加法は固定された法を基準に巡回する（時計算術）。
• 抽象代数学では、群や環において加法と呼ばれる二項演算を研究する。このような演算は、他の文脈では可換性を欠く場合がある。
• 加法は、記号をつなぐ連結や集合の和集合とは異なる。これらの演算は異なる振る舞いをし、異なる構造に適用される。

参考項目

基礎的な話題については、数、二項演算の代数的概念、および行列とベクトルの算術における実用的な応用に関する項目を参照。