合成数は、1より大きい正の整数のうち、1とその数自身以外の数で割り切れる整数です。言い換えると、合成数 n には 1 < d < n を満たす約数 d が存在します。合成数の列は 4、6、8、9、10、12、… と続き、小さな整数どうしの積として表されるなじみ深い数が多く含まれます。

定義と基本的な性質

形式的には、整数 n > 1 が n = a·b（ただし a、b > 1）と書けるとき、n は合成数です。合成数ではなく、かつ 1 より大きい整数を素数と呼びます。なお、1 は素数でも合成数でもありません。0 や負の整数は、通常の自然数の素性の分類には含めません。

素因数分解

すべての合成数は、素数の積として表せます。この分解は、素因数の順序を除けば一意です。これは算術の基本定理として知られています。典型的な例を挙げると、次のような形になります。

  • 4 = 2 × 2（素数の冪）
  • 6 = 2 × 3（異なる2つの素数の積）
  • 12 = 2 × 2 × 3（素因数の重複を含む）
  • 9 = 3 × 3（素数の平方）

特別な分類と区別

合成数の中には、いくつか便利な下位分類があります。半素数はちょうど2つの素数の積（同じ素数でもよい）、素数冪は p^k（k >= 2）、平方因子をもたない合成数は互いに異なる素数の積です。ある数が 1 より大きく、素数でなければ、それはちょうど合成数です。

合成数の判定

ある数が合成数であることを示すには、自明でない約数を見つければ十分です。初等的な方法では、その数の平方根以下の素数で試し割りを行います。非常に大きな整数については、計算数論でアルゴリズムによる判定法や確率的手法（たとえば Miller–Rabin）や決定的アルゴリズム（AKS を含む）が用いられます。こうした判定は、実際に素数と合成数を区別するうえで重要です。

歴史と応用

素数と合成数の概念は古代数学までさかのぼり、初等整数論の基礎をなしています。大きな合成数を素因数へ分解することの難しさは、現代の公開鍵暗号の基盤です。暗号の安全性は、特定の合成数の素因数を計算機的に求めることが難しいことに依存している場合が多くあります。入門的な説明やより詳しい解説については、参考文献や、計算数論の解説のような資料を参照してください。

注目すべき点: どの合成数にも、その平方根以下の素因数が少なくとも1つあります。そのため、小さな約数を見つけることは実用上よく用いられる方法です。合成数とその素因数分解の理解は、純粋数学と応用数学の両方で中心的なテーマであり続けています。