信頼区間

"自信 "という言葉の意味

自信という言葉は、統計学においても一般的に使われているような同様の意味を持っています。一般的な使用法では、何かに対する95％の信頼性の主張は、通常、事実上の確実性を示しているとみなされます。統計学では、95%信頼度の主張は、単に研究者が多数の可能な区間の中から1つの可能な区間を見たことを意味し、20の区間のうち19の区間がパラメータの真の値を含んでいることを意味する。

実用例

カップにマーガリンを充填する機械があります。この例では、カップの中身が250gのマーガリンになるように機械を調整します。機械はすべてのカップに正確に250gのマーガリンを充填することはできないので、個々のカップに加えられる内容物はある程度のばらつきがあり、これを確率変数Xとします。機械が適切に校正されているかどうかを判断するために、n = 25カップのマーガリンのサンプルを無作為に選び、カップの重量を測定します。マーガリンの重さは X₁, ..., X₂₅ であり，これは X からの無作為なサンプルである．

期待値μの印象を得るためには、推定値を与えることで十分です。適切な推定値は標本平均です。

μ ^ = X ¯ = n1 ∑ i = n1 X i .{本来ならば、このようにして得られた結果を、さらに発展させていくことができる。}

サンプルでは、平均値を持つ実際のウェイトx₁, ...,xが示されて₂₅います。

x125 ¯ = ∑ i = x 125i = 250.2grams .{グラム数を示す。}

さらに25個のカップをサンプルとして採取した場合、250.4gや251.1gといった値が容易に予想されます。しかし、カップの平均含有量が実際に250gに近いのであれば、サンプル平均値が280gになることは極めて稀です。観察されたサンプル平均値250.2の周囲には、全体の母平均が実際にこの範囲内の値を取る場合、観察されたデータが特に異常であるとは考えられないような区間があります。このような区間は，パラメータμの信頼区間と呼ばれます。区間の端点はサンプルから計算されなければならないので、それらは統計であり、サンプルX₁, ..., Xの関数で₂₅あり、したがって確率変数そのものです。

今回のケースでは、正規分布するサンプルからのサンプル平均Xも正規分布し、期待値μは同じだが、標準誤差σ/√n=0.5（グラム）であると考えることで、終点を決めることができます。標準化することで、確率変数

Z = X ¯ - μ σ / n = X ¯ - μ {\0.5displaystyle Z={\frac {{bar {X}}-mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {{bar {X}}-\mu }{0.5}}}}。

したがって、μに依存しない数-zとzを見つけることができ、Zはその間に1-αの確率で位置します。ここでは、1 - α = 0.95 とします。つまり、次のようになります。

P ( - z ≤ Z ≤ z ) = -1 α 0.95= . {\displaystyle P(-z\leq Z\leq z)=1-alpha =0.95.\, }.

数zは累積分布関数に従う。

Φ ( z ) = P ( Z ≤ z 1) = - α = , 20.975z = Φ - (1 Φ ( z ) ) = Φ - ( ) = , {10.9751.96˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵}\Phi (z)&=P(Z\leq z)=1-{tfrac {\alpha }{2}}=0.975,\\^{-1}(\Phi (z))=\Phi ^{-1}(0.975)=1.96,end{aligned}}。

と出てきます。

0.951= - α = P ( - z ≤ Z ≤ z ) = P 1.96( - ≤ X ¯ - μ σ / n ≤ ) =1.96 P ( X ¯ - 1.96σ n ≤ μ ≤ X ¯ + σ1.96 n ) = P ( X ¯ -1.96 × ≤ 0.5μ ≤ X ¯ + ×1.96 ) =0.5 P ( X ¯ - ≤0.98 μ ≤ X0.98 ¯ + ) .{aligning}0.95&=1-\\ =P(-z˶ˆ꒳ˆ˵ ) =P\left(-1.96˶ˆ꒳ˆ˵ ) }\frac {{bar {X}}-mu }{˶ˆ꒳ˆ˵ }{sigma /{sqrt {n}}}}˶ˆ꒳ˆ˵ )96right)♪\\=P\left({{bar {X}}-1.96{\sqrt {n}}\\\=P\=P\=P\=Please)96{frac {\\}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮∮96times 0.5\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\⁾⁾。

これは次のように解釈できます：確率0.95で、確率的な終点の間にパラメータμを満たす信頼区間を見つけることができる。

X0 ¯ - . 98 {X}}-0{.}98%%}。

そして

X0.98¯ + ... {displaystyle {bar {X}}+0.98.\\, }.

これは、計算された区間でパラメータμを満たす確率が0.95であることを意味するものではありません。測定を繰り返すたびに、サンプルの平均値Xには別の値が入ります。95%の場合、μはこの平均値から計算されたエンドポイントの間に入りますが、5%の場合は入りません。実際の信頼区間は、測定された重みを式に入力して計算されます。私たちの0.95の信頼区間は次のようになります。

( x0.98 ¯ - ; x ¯ 250.2250.2251.18+ ) = ( - ; + ) = ( ; ) .0.980.980.98249.22{\displaystyle ({\bar {x}}-0.98;{\bar {x}}+0.98)=(250.2-0.98;250.2+0.98)=(249.22;251.18).\,}

μの希望値250が結果的に信頼区間内に収まっているので、機械の校正が間違っているとは考えられない。

計算された区間には固定の終点があり、μはその間にあるかもしれません（あるいはないかもしれません）。したがって、このイベントは確率が0か1のどちらかです。とは言えません。"確率(1 - α)でパラメータμは信頼区間内にある" とは言えません。私たちが知っているのは、繰り返すことによって、100(1 - α)%のケースでμが計算された区間に入るということだけです。しかし、100α％のケースではそうではありません。そして残念ながら、どの場合にそうなるのかはわかりません。これが私たちがこう言う理由です。"信頼度100(1 - α) %で、μは信頼区間内にある。"

右の図は、任意の母平均μに対する信頼区間の50個の実測値を示しています。実測値をランダムに1つ選ぶと、95%の確率でパラメータを含む区間を選んだことになりますが、運悪く間違ったものを選んでしまったかもしれません。しかし、運悪く間違ったものを選んでしまうかもしれません。私たちは知る由もありません。

縦の線分は、μの信頼区間の50回の実測値を表しています。