定数関数とは？定義・例・グラフ・性質をわかりやすく解説
定数関数の定義・例・グラフ・性質を図解でやさしく解説。問題と応用で高校・大学の基礎を短時間でしっかり理解。
数学では、定数関数とは、入力に関係なく常に同じ値を返す関数のことである。一般に f(x)=c （c は定数）と表され、定義域内のどの x に対しても値 f(x) は同じ c になる。例えば次の関数は定数関数である：
関数 y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4
}は、入力値 x {\displaystyle y(x)x}に関係なく、y ( x ) {\displaystyle y(x)}の値が
4であるので、定数関数である
（画像参照）。
定義と表記
もっと一般には、任意の集合 D を定義域とし、c を値域の元とするとき、関数 f:D→Y がすべての x∈D について f(x)=c を満たすとき f を定数関数という。記法としては f(x)=c や y=c と書く。
グラフ
実数を定義域とする場合（f:ℝ→ℝ 等）、定数関数のグラフは平面上の水平直線 y=c で表される。区間 [a,b] を定義域とするなら、そのグラフは区間上の水平線分となる。
性質（主なポイント）
- 値域：値域は単集合 {c} である。すなわち像はただ一つの値しか持たない。
- 連続性：定数関数は定義域のどこでも連続である（むしろ一様連続でもある）。
- 微分：実数値の関数であれば、導関数は everywhere 0。つまり f'(x)=0（定義される点すべてで）。
- 積分：区間 [a,b] 上の広義積分は ∫_a^b c dx = c(b−a) となる。
- 有界性：値が単一なので必ず有界である。
- 単射性・全射性：定義域が複数点を含む場合、定数関数は一般に単射（1対1）ではない。全射（上への写像）であるかは値域（共通に想定する像の集合）による。値域に c のみが含まれるなら全射となる。
- 偶奇性：どの定数関数も f(−x)=f(x) を満たすため偶関数である。奇関数であるのは c=0 の場合のみ（0 関数だけが同時に偶・奇となる）。
- 周期性：定数関数は任意の非ゼロの周期 T に対して周期関数である（すべての T に対して周期性を満たす）。
- アフィン関数の特殊例：一次関数 y=ax+b のうち a=0 のときが定数関数であり、傾きが 0 の直線である。
簡単な証明例
- 導関数が 0 である理由：差分商 (f(x+h)−f(x))/h = (c−c)/h = 0 なので極限を取れば f'(x)=0。
- 連続である理由：任意の点 x0 で |f(x)−f(x0)|=|c−c|=0 となるため、任意の ε>0 に対して十分小さな δ を取らずとも成り立つ。
拡張と応用
ベクトル値や複素数値の関数でも定数関数の概念は同様で、値が常に同じベクトルや複素数になる関数を指す。解析や微分方程式の初歩、信号処理（直流成分）など、多くの場面で基準ケースとして使われる。
まとめると、定数関数は「入力に依らず常に同じ出力を返す」非常に単純だが、微分・積分・連続性など基本的な性質を学ぶ上で重要な例である。
定数関数 y=4
基本特性
形式的には、定数関数 f(x):R→R は、f (x ) = c {\displaystyle f(x)=c
} という形式をとる。普通は y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} と書く
か、単に y = c {\displaystyle y=c
} と書く。
- 関数y=cは2つの変数xとуと1つの定数cを持っています（この形式の関数では、xは見えませんが、存在しています）。
例。関数 y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4}or just y = 4 {\displaystyle y=4} は
、出力値が c = 4 {\displaystyle c
=4} である特定の定数関数です。領域はすべての実数 ℝ。コドメインはちょうど{4}です。つまり、y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4, どのような値のxを....入力しても、出力は"4"になります。
- 定数関数 y = c {\displaystyle y=c}のグラフは、点 ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)}
を通る平面上の水平線である。 - c≠0の場合、定数関数y=cは次数0の1変数xの多項式である。
- この関数のy切片は点(0,c)です。
- この関数には x切片がありません。つまり、ルートもゼロもありません。また、x軸と交差することもありません。
- c=0ならば，y=0となり，これはゼロ多項式または同一的にゼロの関数である．すべての実数xは根である。y=0のグラフは平面上のx軸です。
- 定数関数は偶数関数なので、y軸はすべての定数関数の対称軸になります。
定数関数の微分
関数の微分が定義されている文脈では、関数の微分は入力値の変化に対する関数（出力）値の変化率を測定します。定数関数は変化しないので、その微分は0である。 これはよく書かれている。
例： y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}}は定数関数である。
逆（逆）もまた真です。つまり、ある関数の微分がどこでもゼロであれば、その関数は定数関数であるということです。
数学的にはこの2つの文を書きます。
y (x ) = c ⇔ y ′ (x ) = 0 ,∀ x ∈R {\\\\\. 
一般化
関数 f : A → B は，A の各 a と b について f(a) = f(b) であれば，定数関数である．
例としては、以下のようなものがあります。
現実世界の例。すべての商品が1ユーロで販売されているお店。この関数のドメインは、店舗内のアイテムです。コードメインは1ユーロです。
例.f : A → B とし、A={X,Y,Z,W}とB={1,2,3}とし、各a∈Aについてf(a)=3とする。とすると、fは定数関数となります。
例：z(x,y)=2は、A=ℝ²からB=ℝ²までの定関数で、すべての点(x,y)∈ℝ²が値z=2に写像されています。この定数関数のグラフは、点(0,0,2)を通る3次元空間の水平面(x0y平面と平行)です。
例題です。極関数ρ(φ)=2.5は、あらゆる角度φを半径ρ=2.5に写す定数関数です。この関数のグラフは、平面上の半径2.5の円です。
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その他の物件
定数関数の性質は他にもある。定数関数を「英語版ウィキペディア」で参照する
関連ページ
質問と回答
Q:定数関数とは何ですか?
A:定数関数とは、どの入力値に対しても出力値が同じになる関数のことです。
Q:定数関数の例を教えてください。
A:はい、定数関数の例はy(x)=4で、入力値xに関係なくy(x)の値は常に4となるものです。
Q:ある関数が定数関数であるかどうかは、どのように見分けるのですか?
A:関数が定数関数であるかどうかは、どの入力値に対しても出力値が同じかどうかで判断できます。
Q:定数関数について「y(x)=4」と言うのはどういう意味か?
A:「y(x)=4」というのは、入力値xが何であっても、y(x)の出力値は常に4になる、という意味です。
Q:定数関数がどのようなものかを視覚化する方法はありますか?
A:はい，定数関数がどのようなものか，画像やグラフで視覚化することができます．
Q:定数関数では、入力によって出力が変わるのですか?
A:いいえ、定数関数は入力によって出力が変化することはありません。
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