代数的解（定義と例）—二次〜四次方程式とアーベル＝ルフィニの定理

代数的解の定義と二次〜四次方程式の具体例、解法の構造とアーベル＝ルフィニ定理による五次以上の限界を分かりやすく解説。

代数的解とは、代数方程式の解を、変数の係数による有限個の四則演算と根の抽出（根号）だけを用いて表した代数式のことです。具体的には、足し算、引き算、掛け算、割り算、および平方根・立方根などの根の取り出しによって得られる式を指します。これらの操作の組み合わせで表せる解を「根号による解」あるいは「有理演算と根号による解（解とは代数的解）」と呼びます。

定義の補足

• 有限性：代数的解は、有限回の四則演算と有限回の根号操作で表現できることが必要です（無限級数や超越関数は含まれません）。
• 根の多値性：n乗根は一般に複数の（複素）値を持つため、代数的解として示した式が示す解集合は複数の根を含むことがあります。実数解を指す場合は主値（principal root）を選ぶことが多いです。

よく知られた例

最もよく知られている例は、一般的な二次方程式の解です。方程式

a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle ax^{2}+bx+c=0}

（ここでは a ≠ 0） に対して、解は有名な二次公式で与えられます：

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , {\displaystyle x={\frac {-b\pm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a},},}。

三次方程式や四次方程式にも代数的解（根号による解）が存在し、一般にそれらはカルダノの公式（一般三次方程式）やフェラーリの方法（一般四次方程式）によって表されます。一般三次方程式と四次方程式（原文では四分方程式と表記されていました）には、二次に比べてより複雑だが明示的な代数式があります。

アーベル＝ルフィニの定理（Abel–Ruffini）の意味

アーベル＝ルフィニの定理は、「一般の5次以上の多項式方程式の解は、四則演算と根の抽出のみを用いた有限式（つまり代数的解）で表すことはできない」ことを主張します。別の言い方をすれば、次数 n ≧ 5 の一般的な多項式方程式は、根号による一般解を持たないということです。

ただしこれは「すべての5次方程式が代数的解を持たない」という意味ではありません。特別な係数を持つ5次方程式の中には代数的解で表せるものもあり得ます。代数的に解けるかどうかは、ガロア理論で定義されるガロア群が「可解群（solvable group）」であるかどうかと深く関係しています。ガロア理論により、方程式が根号で解ける必要十分条件が群論的に与えられます。

具体例と補足

• 例：x^{10} = a の方程式は簡単に根号で解けます。具体的には

x 10 = a {\displaystyle x^{10}=a

x = a 1 / 10 .{displaystyle x=a^{1/10}.}

ただしこの場合も、複素数領域では10個の異なる10乗根が存在します。実数解を一つ欲しい場合は実数の10乗根を選びます。

歴史的・理論的背景（簡潔に）

• 18世紀末〜19世紀初頭にかけて、ルフィニ（Ruffini）は一般5次方程式の解の不足を示す試みをし、後にアーベル（Abel）が厳密な不可能性の証明を与えました。
• その後、エヴァリスト・ガロア（Évariste Galois）は、方程式の係数の置換に対応する群（ガロア群）を導入し、方程式が根号で解けるかどうかを群論的に判定する理論（ガロア理論）を確立しました。

まとめ

• 代数的解は四則演算と根の抽出だけで表現できる解であり、二次・三次・四次の一般解は存在するが、一般5次以上の多項式の一般解は根号では表せない（アーベル＝ルフィニ）。
• しかし、個別の高次方程式の中には代数的解を持つものがあり、その判定はガロア理論の可解性によって説明される。

参考：上記で用いたリンクや図は元の表記を保持しています。

質問と回答

Q:代数的解法とは何ですか?

Q:高次方程式の場合、もっと複雑な解法があるのですか?

Q:すべての多項式方程式は代数的な解を持つのですか?

Q:高次方程式の代数的解を得るための条件はあるのだろうか?

Q:二次方程式はどのように解くのですか?

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