代数方程式
数学では、与えられたフィールド上の多項式とも呼ばれる代数方程式は、次の形式の方程式です。
P = Q {displaystyle P=Q} P = Q 
ここで、PおよびQは、そのフィールド上の多項式であり、1つの（一変量）または2つ以上の（多変量）変数を有する。例えば
y 4 + x y 2 = x 3 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{frac {xy}{2}}={{frac {x^{3}}{3}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}}}。 
は有理数上の代数方程式です。
2つの方程式が同じ解の集合を持つ場合、等価と呼ばれます。これは、２つ目の方程式のすべての解が１つ目の方程式の解でなければならないことを意味し、その逆もまた然りである。方程式 P = Q {displaystyle P=Q} は、P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
と等価である。つまり、代数方程式の研究は、多項式の研究と同じである。
代数的な方程式がラチカルの上にある場合、それは常にすべての係数が整数である等価な方程式に変換することができます。例えば、上で与えられた方程式では、42 = 2-3-7を掛けて、最初のメンバの項をグループ化します。この式は次のように変換されます。
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}} {displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}}。 
方程式の解は、その方程式が真である変数の値である。しかし、代数的な方程式には根と呼ばれるものもある。方程式を解くときには、どの集合で解が許されるかを言う必要があります。例えば，有理数の上の方程式の場合，整数の中に解を見つけることができます．そうすると，その方程式は双対方程式になります．また，複素数の分野でも解を探すことができます．また，実数の分野でも解を探すことができる．
古代の数学者たちは、一変量方程式（つまり、一つの変数を持つ方程式）の解を、x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2
}}}}の正解x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1
=0}のように、根本的な式の形で求めていた。古代エジプト人は、次数２の方程式（つまり、変数の最高乗が２である方程式）をこのように解く方法を知っていた。ルネサンス期には、ジェロラモ・カルダーノが次数3の方程式を、ロドヴィコ・フェラーリが次数4の方程式を解いています。 最後に、1824年にニールス・ヘンリク・アベルが、次数5の方程式とそれより高い次数の方程式は、常にラジカルを使って解けるわけではないことを証明しました。Évariste Galoisにちなんで名付けられたガロア理論は、ある方程式がラジカルを使って解けるかどうかを判断する基準を与えるために導入された。
質問と回答
Q:代数方程式とは何ですか?
A:代数方程式とは、P＝Qの形の方程式で、PとQは1つ以上の変数を持つ与えられた場の上の多項式です。
Q:2つの方程式はどのようにして等価になるのですか?
A:2つの方程式が同じ解を持つ場合、等価とみなされます。つまり、一方の解はすべて他方の解でもあり、その逆もまた然りです。
Q:方程式を解くとはどういう意味ですか?
A:方程式を解くとは、方程式を真にする変数の値を見つけることです。これらの値は根と呼ばれる．
Q:有理数上の代数方程式は常に整数の係数を持つ方程式に変換できるのですか?
A:はい、両辺に42=2-3-7のような数を掛け、第一項の項をグループ化すれば、有理数上の代数方程式はすべて整数の係数を持つ方程式に変換することが可能です。
Q:古代の数学者はいつ一変量方程式のためのラジカル表現を求めたのですか?
A:ルネッサンス期、古代の数学者は一変量方程式（1変数を持つ方程式）に対する部首表現（x=1+√5/2など）を欲していた。
Q:この時代に3次、4次方程式を解いたのは誰?
A:ジェロラモ・カルダーノが3次方程式を、ロドヴィコ・フェラーリが4次方程式を解いたのがこの時代です。
Q:高次方程式が常にラジカルを使って解くことができないことを証明したのは誰でしょう?
A: ニールス・ヘンリック・アーベルが1824年に、高次方程式は常にラジカルを使って解くことはできないことを証明しました。
