代数方程式（多項式方程式）とは：定義・解・例・歴史とガロア理論

代数方程式（多項式方程式）の定義・解法・具体例から歴史とガロア理論まで、初学者から研究者向けにわかりやすく解説。

著者: Leandro Alegsa

03-02-2026 11:21

数学において、与えられたフィールド上の多項式方程式（代数方程式）とは、次の形の等式を指します：P = Q。ここでPおよびQはそのフィールド上の多項式であり、変数は一つ（一変量）でも二つ以上（多変量）でも構いません。たとえば次のような方程式は有理数上の代数方程式です。

$y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$

定義と等価性

方程式は、その方程式が成り立つ変数の値（解）によって特徴づけられます。2つの方程式が同じ解集合を持つとき、それらは等価であると呼ばれます。多項式方程式の形 P = Q は常に P - Q = 0 と等価であり、したがって代数方程式の研究は多項式自体の研究と同値です。

$P=Q$ 　≡　 $P-Q=0$

係数の整備（有理係数から整数係数へ）

多項式方程式の係数が有理数で表される場合、分母を払って等価な整数係数の方程式に変換することができます。これにより係数の共通因子や既約化（primitive化）といった算術的性質を調べやすくなります。たとえば上の方程式は両辺の分母を払って次のように変形できます（例示）：

$42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0$

上のように全項に共通の整数を掛けることで、分母を消して係数を整数にすることができます。これを行った後、係数の最大公約数で割る（既約化する）ことがしばしば行われます。

解（根）と許される集合

方程式の解とは、その方程式を真にする変数の値です。多項式方程式の解はしばしば「根（root）」とも呼ばれます。どの集合上で解を求めるか（許される範囲）を明示する必要があります。一般に考えられる代表的な集合には、整数、有理数、実数、複素数などがあります。たとえば有理数上の方程式に対して整数解を探すこともあり、逆に複素数全体を考えれば一変量多項式の次数に応じてその個数や性質が明確になります。

一変量方程式の解法と歴史

一変量（変数が一つ）の多項式方程式については、古代からさまざまな手法が発達してきました。2次方程式は古代エジプトやバビロニアでも知られており、現在は解の公式（平方根を使う）で表現できます。例えば二次方程式

$x^{2}+x-1=0$

の一つの解は黄金比として知られる

$x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

で与えられます。

ルネサンス期には、ジェロラモ・カルダーノらによって3次方程式の解法（カルダノの公式）、ロドヴィコ・フェラーリによって4次方程式の解法が発見されました。しかし、一般の5次以上の方程式については、1824年にニールス・ヘンリク・アベルが「一般形の5次以上の多項式は必ずしも（有限回の）根号（ラディカル）だけで表せない」ことを示しました。続いて、Évariste Galoisによって発展したガロア理論は、ある多項式方程式がラディカル（平方根や立方根などの有限回の根号）で解けるかどうかを判定するための決定的な手段を与えました。

ガロア理論の概要（簡潔に）

ガロア理論では、ある多項式の根全体を含む最小の体（分裂体）とその上の自己同型群（ガロア群）を調べます。重要な結論は次のとおりです：

一変量多項式がラディカルによって解ける（= 根号操作だけで表せる）ことは、その多項式のガロア群が可解群（solvable group）であることと同値である。
一般の5次以上の多項式は、一般の場合ガロア群が対称群S_n（n ≥ 5）となり、S_nは可解でないため、一般の5次以上はラディカルで解けない（アーベル＝ルフィニの定理）。ただし、すべての5次多項式が解けないわけではなく、特定の方程式は可解群を持ちラディカルで解ける場合もある。

多変量方程式と代数幾何学

変数が二つ以上の多項式方程式系は、代数幾何学の対象であり、方程式系が定める集合を代数多様体（variety）と呼びます。多変量系では解の集合は曲線や曲面などの幾何学的対象になり、ヒルベルトの零点定理（Nullstellensatz）のような代数的な結果や、ベズーの定理、消去理論、Groebner基底といった計算法が重要になります。

計算上の側面と数値解法

多項式方程式の根を求める計算的手法も多彩です。整数解や有理解を調べる数論的アルゴリズム、代数的に厳密な根の分解を行う因数分解アルゴリズム、実数・複素数上で近似解を求めるニュートン法やDurand–Kerner法などの数値的手法があります。実際の応用では解析的解が得られない場合が多く、数値解や代数的近似が用いられます。

まとめ

代数方程式（多項式方程式）は、多項式の等式として定義され、等価変形や係数の整備、許される解の集合の選定が基本的な扱い方です。歴史的には2次・3次・4次の解法の発見から始まり、アーベルとガロアによる理論の確立により、「いつラディカルで解けるか」を群論的に判断できるようになったことが大きな進展でした。多変量の場合は代数幾何学の言葉で扱われ、現代では理論的・計算的に豊富な手法が存在します。

質問と回答

Q:代数方程式とは何ですか?

A:代数方程式とは、P＝Qの形の方程式で、PとQは1つ以上の変数を持つ与えられた場の上の多項式です。

Q:2つの方程式はどのようにして等価になるのですか?

A:2つの方程式が同じ解を持つ場合、等価とみなされます。つまり、一方の解はすべて他方の解でもあり、その逆もまた然りです。

Q:方程式を解くとはどういう意味ですか?

A:方程式を解くとは、方程式を真にする変数の値を見つけることです。これらの値は根と呼ばれる．

Q:有理数上の代数方程式は常に整数の係数を持つ方程式に変換できるのですか?

A:はい、両辺に42=2-3-7のような数を掛け、第一項の項をグループ化すれば、有理数上の代数方程式はすべて整数の係数を持つ方程式に変換することが可能です。

Q:古代の数学者はいつ一変量方程式のためのラジカル表現を求めたのですか?

A:ルネッサンス期、古代の数学者は一変量方程式（1変数を持つ方程式）に対する部首表現（x=1+√5/2など）を欲していた。

Q:この時代に3次、4次方程式を解いたのは誰?

A:ジェロラモ・カルダーノが3次方程式を、ロドヴィコ・フェラーリが4次方程式を解いたのがこの時代です。

Q:高次方程式が常にラジカルを使って解くことができないことを証明したのは誰でしょう?

A: ニールス・ヘンリック・アーベルが1824年に、高次方程式は常にラジカルを使って解くことはできないことを証明しました。

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