二角形（2辺の多角形）

構成と特徴

形式的には、二角形は2つの頂点が2本の辺で結ばれた図形である。ユークリッド平面では、2本の直線辺はその頂点を結ぶ唯一の直線線分として一致してしまうため、辺が重なってしまう（退化の場合）か、あるいは辺を区別するために一方または両方を曲線にしなければならない。退化を避けるには曲線部分を用いるか、同じ2点を別々の測地線弧で結べるような曲面上に図形を埋め込めばよい。

非ユークリッド的な実現

球面上では、二角形の典型的な実現としてルーネ（lune）がある。これは、2つの大円弧が対蹠点の組を結び、レンズ形の領域を囲むものである。この種の球面二角形は、面積が0ではなく、内角も退化しない。さらに一般に、任意の曲面では同じ2点を結ぶ2本の異なる測地線弧が二角形を作ることができる。こうした実現は、二角形が球面幾何学やその他の非ユークリッド幾何学で有用であることを示している。関連して、幾何学的文脈における球面については球面の議論も参照されたい。

抽象多面体と操作

抽象多面体の用語では、二角形は最も単純なランク2の多面体であり、正則な場合にはシュレーフリ記号 {2} で表される（辺の長さと角が等しい）。{2} に適用されるいくつかの多面体操作は、なじみ深い形を生み出す。たとえば、二角形を切り落とす操作 t{2} は正方形 {4} を与え、また {2} の交代操作（交互の頂点を取り除く操作）である h{2} は単角形 {1} を生じる。これらの関係は、ユークリッド空間への埋め込みが退化的であっても、二角形が多面体の組合せ論にしっかり組み込まれていることを示している。

現れ方、応用、例

二角形は、いくつかの数学的・応用的な場面に現れる。平面グラフ理論では、同じ2つの頂点の間に平行な2本の辺があると2サイクルができ、これを二角形と呼ぶことがある。このような構造は、埋め込み、電気回路、ネットワークの簡略化を調べる際に重要である。閉曲面上のタイリングや地図理論では、二角形の面は自然に現れ、分類結果でも明示的に扱われる。2本の弧に囲まれたレンズ形の領域（二角形）は、曲率、測地線、球面三角法を教える際の例や反例としても用いられる。

注目すべき事実と区別

• 正則二角形: {2} と表され、抽象的には等しい2辺と等しい2角をもつ。
• ユークリッド的退化: 平面では、互いに異なる2本の直線辺だけで、重なりなく二角形を作ることはできない。
• 位相的観点: 球面や他の曲面では、二角形は正当な2面領域であり、しばしばルーネと呼ばれる。
• 関連用語: 二角形は、交代操作と切り落とし操作を通じて単角形 {1} や正方形 {4} に隣接し、t{2} から得られる正方形のような初歩的な例とも関係する。

簡潔な図解やさらに詳しい説明については、球面幾何学と組合せ多面体理論の入門書が、二角形とそれがより広い幾何学的枠組みの中で果たす役割を分かりやすく扱っている。追加の参考資料は、幾何学の概説や、標準的資料における入門的な多角形理論からたどることができる。