正方形は、平面上の単純な正多角形で、四つの等しい直線辺と四つの直角によって定義される。長方形とひし形の性質をあわせ持つ、最も対称性の高い四辺形である。正方形の簡潔な形は日用品や記号的なデザインでもよく見られ、図では頂点A、B、C、Dが付された正方形に続いて画像プレースホルダー が置かれることがある。簡潔な定義と基本的な説明は、一般的な幾何学の参考資料を参照するとよい。
基本的性質
正方形の主な幾何学的性質には、次のようなものがある。
- すべての辺は合同で、隣り合う辺は直角（90°）で交わる。辺と角の性質の概観は角の関係を参照。
- 対角線は等しい長さをもち、互いに二等分し、直交し、さらに各対角線は結んだ頂点の角を二等分する。対角線のふるまいについては四辺形の対角線で詳しく扱われる。
- 対称性: 正方形には4本の線対称軸があり、回転対称は4次である（90°回転すると元に重なる）。この点は対称群で詳しく述べられる。
- 分類: 正方形は長方形（すべての角が90°）でもあり、ひし形（すべての辺が等しい）でもある。したがって、平行四辺形の特別な種類でもある。これらの関係は四辺形の種類で説明される。
測定と基本公式
辺の長さを s とすると、標準的な公式は単純でよく用いられる。面積は s × s（しばしば s^2 と書かれる）、周長は 4s である。対角線の長さは s√2 で、正方形の中心で交わる。この中心は重心であり、内接円と外接円の中心でもある。内接円の半径（内接半径）は s/2、外接円の半径（外接半径）は s/√2 である。これらの関係は、座標幾何や、正方形を格子や方眼に配置するときに役立つ。
歴史、作図、例
正方形の研究は古代から行われてきた。初期の測量、土地の区画、古典幾何学にその例が見られる。定規とコンパスによる作図では、与えられた一辺から、あるいは与えられた対角線から正方形を作ることができる。逆に、長方形を正方形にすること、つまり等しい面積の正方形を作ることは、応用幾何学で関心を集めた古典的問題であった。現代では、正方形は平面の規則正しい敷き詰め、デジタル画像のピクセル格子、建築図面、床タイル、そして等しい比率と直交性が求められる多くの意匠やロゴの基礎となっている。
関係、区別、注目点
正方形は複数の四辺形の定義を満たすが、問題を解くうえでは区別が重要になることがある。すべての正方形は長方形であり、ひし形でもあるが、すべての長方形やひし形が正方形とは限らない。立体の世界では、正方形は立方体の2次元の対応物であり、一般に n 次元の超立方体には正方形（2次元）の面がある。比較やより広い文脈については四辺形の関係、高次元の対応物については多面体の対応物を参照。
さらに読む・参考資料
上のリンクや入門的な幾何学のテキストを通じて、作図、対称性の証明、座標表示、教育やデザインでの応用を調べることができる。正方形は、その対称性、単純さ、そして数学的・実用的文脈にまたがる広い存在感のため、ユークリッド幾何学の中心的な対象であり続けている。