ユージニオ・ベルトラミ（1835–1900）：双曲幾何学のモデルを示したイタリア数学者

ユージニオ・ベルトラミ（1835–1900）：双曲幾何学の最初のモデルを示し、非ユークリッド幾何学の基礎を築いたイタリア数学者の生涯と業績を簡潔に紹介。

Eugenio Beltrami（1835年11月16日 - 1900年2月18日）は、非ユークリッド幾何学、電気、磁気学の研究で知られるイタリアの数学者。

当時はオーストリア帝国の一部、現在はイタリアの一部であったロンバルディア州のクレモナで生まれた。ベルトラーミは1853年にパヴィア大学で数学を学び始めたが、1856年に経済的な苦境から研究を中断せざるを得なくなった。彼は最初の論文を発表した1862年にボローニャ大学の教授に任命されました。ベルトラーミは後にピサ、ローマ、パヴィアの大学で教鞭を執った。1900年にローマで死去。

1868年、（Essay on an interpretation of an non-Euclidean geometryの中で）ベルトラミは双曲幾何学の最初のモデルを与えた。このモデルでは、双曲幾何学の線は擬圏上の測地線で表される。このようにして、ベルトラミはユークリッドの平行命題がユークリッド幾何学の他の公理から導かれないことを最初に証明した。

生涯の概略

ベルトラーミは若年期に数学の才能を示しつつも、家庭の事情で学業を中断するなど困難を経験しました。1860年代から数学研究に復帰し、学術的キャリアを築いていきます。1862年にボローニャ大学の職に就いて以降、ピサ大学やローマ大学、そして故郷に近いパヴィア大学で教鞭をとり、多くの論文と講義を通じて後進を育てました。晩年まで研究活動を続け、1900年にローマで逝去しました。

主な業績

• 双曲幾何学の「モデル化」：1868年の業績では、双曲幾何学の公理系が内的に矛盾しないことを示すために、ユークリッド的な対象（特定の曲面や射影的構成）を用いて双曲幾何学の各概念を具体化しました。これにより、平行公準の独立性（他の公理から導けないこと）が明確になりました。
• プセウドスフェア（擬球面）上の測地線によるモデル：ベルトラーミは、負曲率をもつ曲面（いわゆるプセウドスフェア）の測地線が双曲幾何学の直線に対応することを示し、局所的なモデルを与えました。
• ベルトラーミ＝クライン模型に先立つ射影的模型の提示：のちにクラインやポアンカレらが発展させた幾何学的模型の基礎を築き、円盤内で直線を弦として表すような射影的な視点を提示しました。
• 解析学・物理学分野への貢献：偏微分方程式や曲面論、弾性論、電磁気学に関する研究も行い、数学と理論物理の橋渡しをする成果を残しました。

影響と評価

ベルトラーミの仕事は、非ユークリッド幾何学を単なる直観的主張から数学的に厳密な理論へと昇華させる重要な一歩でした。彼が与えたモデルは、「もしユークリッド幾何学に矛盾がなければ、双曲幾何学にも矛盾はない」という相対的一貫性の考え方を示し、その後のクライン、ポアンカレ、ベルンハルト・リーマンらによる幾何学の発展に大きな影響を与えました。

今日ではベルトラーミは、幾何学史における重要人物として広く認識されています。彼のモデル化の手法は、幾何学的構造を他の既知の理論に還元して解析するという手法の先駆けとなり、現代の幾何学・位相幾何学・理論物理の基礎にもつながっています。

参考となる業績（代表論文）

• 1868年の「Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea」など、双曲幾何学に関する主要論文群。
• 解析学・物理学に関する多数の論考（偏微分方程式、弾性論、電磁気学に関する研究）。

質問と回答

Q: エウジェニオ・ベルトラミは誰ですか?

Q: ベルトラミはどこで生まれたのですか?

Q: ベルトラミはどこで数学を勉強したのですか?

Q: なぜベルトラーミはパヴィア大学での勉強を中断しなければならなかったのですか?

Q: ベルトラーミが教授に任命されたのはいつですか?

Q: ベルトラミは他にどこで教えていたのですか?

Q: ベルトラミの双曲線幾何学のモデルとは何ですか?

文字で検索