双曲幾何学とは：定義・性質・モデルまとめ（非ユークリッド幾何学入門）
双曲幾何学の定義・性質・代表モデルを図示と例でわかりやすく解説。非ユークリッド幾何学の基礎から応用まで入門に最適。
数学では、双曲線幾何学は非ユークリッド幾何学であり、ユークリッド幾何学の平行後置法が置き換えられたものである。ユークリッド幾何学の平行後置法は、2次元空間において、任意の直線lとl上にない点Pに対して、Pを通りlと交わらない直線が1本だけ存在するというものです。ユークリッド幾何学において、双曲幾何学の公理に従うモデルが構築されました。これらのモデルは、平行定理がユークリッドの他の定理とは無関係であることを証明しています。
ユークリッドの平行線には双曲線の類似物がないため、平行線や関連用語の双曲線的な使用方法は執筆者によって異なります。この記事では、2つの限界線を漸近線と呼び、共通の垂線を持つ線を超平行線と呼びますが、単純に平行という言葉が両方に当てはまる場合もあります。
双曲幾何学とは（定義と直感）
双曲幾何学は、平面（または平坦ではない曲面）上の距離や角度の概念がユークリッドと異なる幾何学です。最も特徴的なのは「平行線に関する公理」が変わることで、ユークリッドでは1点から1本の平行線しか引けないのに対し、双曲幾何学では同じ条件のもとで無限に多くの直線が引けます。直感的には、双曲面は“鞍型”の曲がりを持ち、面積や角度の振る舞いがユークリッドと違います。
基本的な性質
- 定数負曲率：双曲平面は一定の負の曲率を持ちます。代表的な標準化では曲率を −1 として扱うことが多いです。
- 三角形の内角和が180°未満：任意の三角形に対して、内角の和は必ず180°より小さく、その差（角欠損）はその三角形の面積に比例します。曲率を −1 とした場合、三角形の面積 = π − (α + β + γ)（ラジアン）という関係が成り立ちます。
- ジオデシック（最短経路）：双曲幾何学における直線に相当するものはジオデシックと呼ばれ、モデルによっては円弧や直線として表現されます。
- 境界と理想点：双曲平面には「無限遠の点（理想点）」の概念があり、これが空間の極限挙動や平行線の分類に重要です。
- 指数的な成長：双曲平面上で半径 r の円の周長・面積は r に対して指数的に増加し、ユークリッドとは異なるスケール特性を示します。
平行の概念（漸近線と超平行線）
双曲幾何学では「交わらない直線」の種類を区別します。一般的な分類は次のとおりです。
- 漸近線（限界線, limiting parallel）：ある直線 l に対して、点 P を通り l に向かって近づくが交わらない直線で、理想点で一致する（無限遠で接する）ものを指します。ジオデシック同士が無限遠で出会うため「漸近」と呼ばれます。
- 超平行線（ultraparallel）：互いに交わらず、かつ共通の理想点を持たない直線の組です。双曲平面上では、超平行な二直線は一意な共通垂線（最短距離を与える直線）を持ちます。
- これらをまとめて単に「平行」と呼ぶこともありますが、性質が異なるため区別して扱うことが多いです。
代表的なモデル（直感と計算に便利）
双曲幾何学を具体的に扱うために、いくつかの等価なモデルが用いられます。いずれも双曲平面の点集合・直線（ジオデシック）・距離の表現が異なるだけで、同じ幾何学を表します。
- ポアンカレ円板モデル（Poincaré disk model）：単位円板内に点を置き、ジオデシックは円板の境界に直交する円弧または直線。角度はユークリッドの角度と一致する（角度保ち性）。距離要素は ds^2 = 4|dz|^2/(1−|z|^2)^2 のように表されます。
- ポアンカレ上半平面モデル（Poincaré half-plane model）：上半平面 {Im z > 0} を用いるモデルで、ジオデシックは垂直な直線または円弧。こちらも角度保ち性があり、複素解析と親和性が高いです。
- クライン模型（Klein model）：単位円内を用いるが、ジオデシックはユークリッドの直線として表れる。角度は保たれないが、直線性が扱いやすい利点があります。
- ベルターミのモデル（Beltrami model）：双曲面（擬球面）に対応させるモデルで、歴史的に重要です。これらのモデルは互いに双有理変換や双曲変換で対応します。
簡単な公式例
- 三角形の面積（曲率 = −1 の場合）: 面積 = π − (α + β + γ)（ラジアン）。
- 円の周長・面積は半径 r に対して指数的に増大する（精確な式はモデルと正規化に依存）。
- ポアンカレ円板での距離（2点 z, w に対して）: d(z,w) = arcosh(1 + 2|z−w|^2/((1−|z|^2)(1−|w|^2))) など、表現はいくつかある。
歴史と重要人物
双曲幾何学の発展には多くの数学者が関わりました。代表的なのはニコライ・ロバチェフスキー（Lobachevsky）、ヤーノシュ・ボヤイ（János Bolyai）、そしてエウジェニオ・ベルトラーミ（Eugenio Beltrami）らです。19世紀に平行公理の独立性が示され、双曲幾何学がユークリッド幾何学の矛盾ではなく別の一貫した体系であることが確立されました。
応用
- 位相幾何学や群論（フロベニウス級数やフロベニウス方程式、離散群による双曲面の板張り）
- 3次元多様体の理論（双曲3次元多様体は幾何トポロジーで重要）
- コンピュータサイエンスやネットワーク理論（双曲幾何的距離が大きなグラフの性質を説明することがある）
- 芸術・建築（正則な双曲タイルやパッキング）や視覚化
まとめ（要点）
- 双曲幾何学は平行公理を変えた非ユークリッド幾何学で、負の定曲率を持ち、三角形の内角和が常に180°未満になります。
- 平行線には漸近線と超平行線があり、ユークリッドとは全く異なる性質を示します。
- ポアンカレ円板・上半平面・クライン模型など複数の等価モデルがあり、用途に応じて使い分けられます。
- 歴史的にはロバチェフスキー、ボヤイ、ベルトラーミらによって確立され、現代数学や応用科学でも重要な役割を果たします。
与えられた点Pを通り、線分lに漸近する線。
双曲線の三角形
交差しない線
双曲幾何学の興味深い性質は、点Pを通る平行線が2本以上存在することから導かれる：交差しない線には2つのクラスがある。線分PBがlに垂直になるようなl上の点をBとすると、Pを通る線xは、xがlと交わらず、PBとPBから反時計回りのxとの間の角度θができるだけ小さくなるような線を考える。つまり、これより小さい角度であれば、線はlと交わることになる。対称的に、PBと自分との間に同じ角度θを持ち、PBから時計回りに進む線yも漸近線となる。xとyは、Pを通りlに漸近する2本の線だけである。Pを通りlと交差しない他の線で、PBとの角度がθより大きいものは、lに超平行（または離接的に平行）と呼ばれる。θと90度の間には無限の角度が存在し、それぞれの角度でPを通り、lと不連続に平行な2本の直線が決まるので、無限の超平行線が存在することに注意してください。
このようにして、修正された形の平行ポスチュレートが得られる。双曲幾何学において、任意の直線lと、l上にない点Pが与えられたとき、Pを通る直線のうちlに漸近するものがちょうど2本あり、Pを通る直線のうちlに超平行なものが無限にある。
これらの線の違いは、「漸近線の距離は一方ではゼロになり、他方では無制限に伸びる」、「超平行線の距離は両方向に伸びる」という見方もできます。超平行定理とは、双曲面上に、ある一対の超平行線のそれぞれに垂直な直線が一意に存在するというものです。
ユークリッド幾何学では、平行線の角度は一定であり、平行線間
の距離‖B P ‖｛\\Vert BP\rVert｝は平行線の角度が90°になるとされる。双曲幾何学では、平行線の角度はΠ ( p ) {\\Pi (p)}
関数によって変化する。この関数はNikolai Ivanovich Lobachevskyによって記述されたもので、各距離p = ‖ B P ‖ { displaystyle p=\rVert BP\rVert }に対して一意の平行角を作り出す。
.距離が短くなるとΠ ( p ) {\\Pi (p)}は90°に近づくが、距離が長くなるとΠ ( p ) {\\Pi (p)}は0°に近づく。このように、距離が小さくなればなるほど、双曲面はユークリッド幾何学的な振る舞いをするようになるのである。確かに、Kに比べて小さなスケールでは、1-K}}}}
ここで、K{displaystyle K\!ここで、K{\\}
は平面の（一定の）ガウス曲率であり、観測者は自分がユークリッド平面にいるのか、双曲平面にいるのかを判断するのは難しいだろう。
沿革
オマール・ハイヤームをはじめ、ジョバンニ・ジェロラモ・サッケリ、ジョン・ウォリス、ランベール、レジェンドールなど、多くの幾何学者が平行ポスチュレートの証明を試みた。彼らの試みは失敗に終わったが、その結果、双曲幾何学が生まれた。アルハセン、ハイヤームの四辺形に関する定理は、双曲幾何学の最初の定理であった。彼らの双曲幾何学の研究は、ウィテロ、アルフォンソ、ジョン・ウォリスなど、後のヨーロッパの幾何学者たちの双曲幾何学の発展に影響を与えた。
19世紀、ヤーノシュ・ボリヤイとニコライ・イヴァノヴィッチ・ロバチェフスキーによって双曲幾何学が研究され、その名が付けられることもある。ロバチェフスキーは1830年に発表し、ボヤイは独自に発見して1832年に発表した。カール・フリードリヒ・ガウスも双曲幾何学を研究し、1824年にタウリヌスに宛てた手紙の中で双曲幾何学を構築したと記述しているが、その成果を発表していない。1868年、エウジェニオ・ベルトラミがその模型を提供し、これを使ってユークリッド幾何学なら双曲幾何学も矛盾しないことを証明した。
双曲幾何学」という言葉は、1871年にフェリックス・クラインによって発表された。歴史については、非ユークリッド幾何学の記事を参照。
双曲面のモデル
双曲幾何学には、クラインモデル、ポアンカレ円盤モデル、ローレンツモデル（双曲モデル）の3つのモデルがあります。これらのモデルは、双曲幾何学の公理を満たす実双曲空間を定義しています。しかし、これらのモデルは、ポアンカレやクラインではなく、ベルトラミが双曲空間のモデルとして導入したものであるため、名前は違っても、2つの円盤モデルと半平面モデルは双曲空間のモデルとして導入されました。
- 射影円板モデルやベルトラミ・クラインモデルとも呼ばれるクラインモデルは、円の内部を双曲面に、円の和音を直線に見立てたものです。
- ポアンカレ半平面モデルは、ユークリッド線Bで決まるユークリッド平面の2分の1を双曲平面とするものです（B自体は含まれません）。
- 双曲線は、Bに直交する半円か、Bに直交する光線になります。
- ポアンカレモデルはいずれも双曲面の角度を保持しており、それによってコンフォーマルである。したがって、これらのモデルにおけるアイソメトリーはすべてメビウス変換となります。
- 半平面モデルは、円盤の端にあるポアンカレの円盤モデルと（極限では）同じである
- ミンコフスキー3空間は、1つの空間次元を排除した時空のモデルであるため、このモデルは特殊相対性理論に直接適用される。双曲面は、1つの点から空間平面上に放射状に広がる様々な移動観測者が、一定の適切な時間内に到達する事象を表していると考えることができます。双曲線上の2点間の双曲線距離は、対応する2つの観測者間の相対的な速さと見なすことができます。
大菱形切断{3,7}タイリングのポアンカレ・ディスク・モデル
双曲面幾何学の視覚化
M.エッシャーの有名な版画「Circle Limit III」と「Circle Limit IV」は、コンフォーマルディスクモデルをよく表しています。両方とも、測地線が見えます。(IIIでは、白い線は測地線ではなく、測地線と並行して走るハイパーサイクルである）。また、双曲面の負の曲率が、三角形や四角形の角の和に影響を与えていることがよくわかるでしょう。
ユークリッド平面では、これらの角度の合計は450°になり、つまり、1円と1/4になります。このことから、双曲面上の三角形の角度の合計は、180°よりも小さくなければならないことがわかります。また、目に見える特性として、指数関数的な成長があります。例えば、「Circle Limit IV」では、中心からnの距離にいる天使と悪魔の数が指数関数的に増加することがわかります。悪魔の双曲面の面積は等しいので、半径nの球の面積はnで指数関数的に上昇するはずです。
双曲面（またはその近似平面）を物理的に実現する方法はいくつかあります。特に有名なのは、William Thurstonによる仮面圏に基づくペーパーモデルです。かぎ針編みの技術は双曲面のデモンストレーションに使われており、最初に作ったのはDaina Taiminaでした。2000年には、Keith Hendersonが「双曲サッカーボール」と呼ばれる紙製のモデルをすぐに作れることを示しました。
珊瑚礁を模した、Institute For Figuringによる双曲面のかぎ針編み作品集
質問と回答
Q:双曲線幾何学とは何ですか?
A:双曲幾何学は非ユークリッド幾何学で、ユークリッド幾何学を定義する平行ポスチュレートが真でないことを意味しています。双曲面では、最初は平行だった線が、だんだん離れていきます。
Q:双曲面幾何学は、普通の平面幾何学とどう違うのですか?
A:ユークリッド幾何学のルールを双曲線幾何学のルールに置き換えると、通常の平面幾何学とは異なる働きをすることになります。例えば、三角形は角度の和が180度以下になり、とがりすぎて、辺が真ん中に沈んでいるように見えるようになります。
Q:双曲面の一部分のような形をしたものは、実際にあるのでしょうか?
A:はい、サンゴやレタスなど、双曲面の一部分のような形をしているものがあります。
Q:インターネットの地図は、平面でない方が描きやすいのはなぜでしょう?
A: インターネットの地図は、平らでない方が描きやすいかもしれませんね。
Q:この考え方は、コンピュータネットワークの地図作成以外にも適用できるのでしょうか?
A:物理学者の中には、私たちの宇宙は少し双曲線的であると考える人さえいます。
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