双曲幾何学

交差しない線

双曲幾何学の興味深い性質は、点Pを通る平行線が2本以上存在することから導かれる：交差しない線には2つのクラスがある。線分PBがlに垂直になるようなl上の点をBとすると、Pを通る線xは、xがlと交わらず、PBとPBから反時計回りのxとの間の角度θができるだけ小さくなるような線を考える。つまり、これより小さい角度であれば、線はlと交わることになる。対称的に、PBと自分との間に同じ角度θを持ち、PBから時計回りに進む線yも漸近線となる。xとyは、Pを通りlに漸近する2本の線だけである。Pを通りlと交差しない他の線で、PBとの角度がθより大きいものは、lに超平行（または離接的に平行）と呼ばれる。θと90度の間には無限の角度が存在し、それぞれの角度でPを通り、lと不連続に平行な2本の直線が決まるので、無限の超平行線が存在することに注意してください。

このようにして、修正された形の平行ポスチュレートが得られる。双曲幾何学において、任意の直線lと、l上にない点Pが与えられたとき、Pを通る直線のうちlに漸近するものがちょうど2本あり、Pを通る直線のうちlに超平行なものが無限にある。

これらの線の違いは、「漸近線の距離は一方ではゼロになり、他方では無制限に伸びる」、「超平行線の距離は両方向に伸びる」という見方もできます。超平行定理とは、双曲面上に、ある一対の超平行線のそれぞれに垂直な直線が一意に存在するというものです。

ユークリッド幾何学では、平行線の角度は一定であり、平行線間の距離‖B P ‖｛\\Vert BP\rVert｝は平行線の角度が90°になるとされる。双曲幾何学では、平行線の角度はΠ ( p ) {\\Pi (p)}関数によって変化する。この関数はNikolai Ivanovich Lobachevskyによって記述されたもので、各距離p = ‖ B P ‖ { displaystyle p=\rVert BP\rVert }に対して一意の平行角を作り出す。.距離が短くなるとΠ ( p ) {\\Pi (p)}は90°に近づくが、距離が長くなるとΠ ( p ) {\\Pi (p)}は0°に近づく。このように、距離が小さくなればなるほど、双曲面はユークリッド幾何学的な振る舞いをするようになるのである。確かに、Kに比べて小さなスケールでは、1-K}}}}ここで、K{displaystyle K\!ここで、K{\\}は平面の（一定の）ガウス曲率であり、観測者は自分がユークリッド平面にいるのか、双曲平面にいるのかを判断するのは難しいだろう。

沿革

オマール・ハイヤームをはじめ、ジョバンニ・ジェロラモ・サッケリ、ジョン・ウォリス、ランベール、レジェンドールなど、多くの幾何学者が平行ポスチュレートの証明を試みた。彼らの試みは失敗に終わったが、その結果、双曲幾何学が生まれた。アルハセン、ハイヤームの四辺形に関する定理は、双曲幾何学の最初の定理であった。彼らの双曲幾何学の研究は、ウィテロ、アルフォンソ、ジョン・ウォリスなど、後のヨーロッパの幾何学者たちの双曲幾何学の発展に影響を与えた。

19世紀、ヤーノシュ・ボリヤイとニコライ・イヴァノヴィッチ・ロバチェフスキーによって双曲幾何学が研究され、その名が付けられることもある。ロバチェフスキーは1830年に発表し、ボヤイは独自に発見して1832年に発表した。カール・フリードリヒ・ガウスも双曲幾何学を研究し、1824年にタウリヌスに宛てた手紙の中で双曲幾何学を構築したと記述しているが、その成果を発表していない。1868年、エウジェニオ・ベルトラミがその模型を提供し、これを使ってユークリッド幾何学なら双曲幾何学も矛盾しないことを証明した。

双曲幾何学」という言葉は、1871年にフェリックス・クラインによって発表された。歴史については、非ユークリッド幾何学の記事を参照。

双曲面のモデル

双曲幾何学には、クラインモデル、ポアンカレ円盤モデル、ローレンツモデル（双曲モデル）の3つのモデルがあります。これらのモデルは、双曲幾何学の公理を満たす実双曲空間を定義しています。しかし、これらのモデルは、ポアンカレやクラインではなく、ベルトラミが双曲空間のモデルとして導入したものであるため、名前は違っても、2つの円盤モデルと半平面モデルは双曲空間のモデルとして導入されました。

1. 射影円板モデルやベルトラミ・クラインモデルとも呼ばれるクラインモデルは、円の内部を双曲面に、円の和音を直線に見立てたものです。
2. ポアンカレ半平面モデルは、ユークリッド線Bで決まるユークリッド平面の2分の1を双曲平面とするものです（B自体は含まれません）。
• 双曲線は、Bに直交する半円か、Bに直交する光線になります。
• ポアンカレモデルはいずれも双曲面の角度を保持しており、それによってコンフォーマルである。したがって、これらのモデルにおけるアイソメトリーはすべてメビウス変換となります。
• 半平面モデルは、円盤の端にあるポアンカレの円盤モデルと（極限では）同じである
• ミンコフスキー3空間は、1つの空間次元を排除した時空のモデルであるため、このモデルは特殊相対性理論に直接適用される。双曲面は、1つの点から空間平面上に放射状に広がる様々な移動観測者が、一定の適切な時間内に到達する事象を表していると考えることができます。双曲線上の2点間の双曲線距離は、対応する2つの観測者間の相対的な速さと見なすことができます。

大菱形切断{3,7}タイリングのポアンカレ・ディスク・モデル

双曲面幾何学の視覚化

M.エッシャーの有名な版画「Circle Limit III」と「Circle Limit IV」は、コンフォーマルディスクモデルをよく表しています。両方とも、測地線が見えます。(IIIでは、白い線は測地線ではなく、測地線と並行して走るハイパーサイクルである）。また、双曲面の負の曲率が、三角形や四角形の角の和に影響を与えていることがよくわかるでしょう。

ユークリッド平面では、これらの角度の合計は450°になり、つまり、1円と1/4になります。このことから、双曲面上の三角形の角度の合計は、180°よりも小さくなければならないことがわかります。また、目に見える特性として、指数関数的な成長があります。例えば、「Circle Limit IV」では、中心からnの距離にいる天使と悪魔の数が指数関数的に増加することがわかります。悪魔の双曲面の面積は等しいので、半径nの球の面積はnで指数関数的に上昇するはずです。

双曲面（またはその近似平面）を物理的に実現する方法はいくつかあります。特に有名なのは、William Thurstonによる仮面圏に基づくペーパーモデルです。かぎ針編みの技術は双曲面のデモンストレーションに使われており、最初に作ったのはDaina Taiminaでした。2000年には、Keith Hendersonが「双曲サッカーボール」と呼ばれる紙製のモデルをすぐに作れることを示しました。

珊瑚礁を模した、Institute For Figuringによる双曲面のかぎ針編み作品集