パラレルポスチュレート

幾何学において平行ポスチュレートはユークリッド幾何学の公理の一つである。ユークリッドの『エレメント』の5番目のポスチュレートであることから、ユークリッドの5番目のポスチュレートとも呼ばれることがある。

というポスチュレートがある。

線分を2本の直線で切ったとき、その直線が作る2つの内角の和が180°より小さい場合、その直線を長く伸ばせば、2つの直線は最終的に合流することになる

ユークリッドの公理にすべて従う幾何学の分野をユークリッド幾何学という。ユークリッドの公理にすべて従わない幾何学は、非ユークリッド幾何学と呼ばれる。

内角α(アルファ)とβ(ベータ)の和が180°より小さい場合、両者を無限大に延長すれば、2本の線はどこかで交わる。Zoom
内角α(アルファ)とβ(ベータ)の和が180°より小さい場合、両者を無限大に延長すれば、2本の線はどこかで交わる。

歴史

数学者の中には、ユークリッドの第5仮定は他の4つの仮定よりずっと長く、複雑だと考えている人もいた。その多くは、他のもっと単純な公理から証明できると考えた。ある数学者は、より簡単な命題から証明したと発表したが、それらはすべて間違いであったことが判明した。

プレイフェアの公理

また、「プレイフェア公理」と呼ばれる最近の命題は、ユークリッドの第5ポスチュレートに似ている。それは次のようなものである。

ある直線とその直線上にない点があるとき、この点を通る直線でもう一方の直線にぶつからないものは1本しか引けません

実は、この公理はユークリッドの第5仮定と似ているだけでなく、全く同じ意味合いを持っていることが数学者たちによって発見されたのである。数学的には、この2つの命題は「等価命題」と呼ばれる。今日、プレイフェア公理はユークリッドの原始平行ポスチュレートよりも頻繁に数学者に使用されている。

非ユークリッド幾何学

やがて、公理を用いずに新しい幾何学を構築しようとする数学者が現れた。非ユークリッド幾何学の一種に楕円幾何学がある。楕円幾何学では、平行ポスチュレートは、次のような公理に置き換えられる。

ある直線とその直線上にない点があるとき、この点を通り、最終的にもう一方の直線と交わらない直線は引けません

数学者たちは、ユークリッドの第5仮定をこの公理に置き換えても、ユークリッドの他の多くの定理を証明できることを発見したのである。楕円幾何学をイメージする一つの方法として、地球儀の表面を思い浮かべることができる。地球儀では、赤道では経線が平行に見えるが、極点では経線がすべて交わる。19世紀後半になると、楕円幾何学が矛盾しないことが示された。これは、ユークリッドの第5仮定が他の仮定から独立していないことを証明するものであった。これ以降、数学者は他の4つの仮定から第5仮定を証明しようとすることをほとんどしなくなった。その代わりに、多くの数学者はユークリッドの第5約束に従わない他の幾何学を研究し始めた。

数学者は、ユークリッドの第5公理を別の公理で置き換えることがある。

ある直線とこの直線上にない点があるとき、この点を通り、最終的にもう一方の直線と交わらない直線を少なくとも2本引くことができる

これを双曲線幾何学という。

もう一つの幾何学は、ユークリッドの第5仮定を単に取り除き、何にも置き換えないものである。これは中立幾何学または絶対幾何学と呼ばれる。


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