ガンマ関数

数学では、ガンマ関数(Γ(z)は、負の整数を除く全ての複素数への階乗関数の拡張です。正の整数については、Γ ( n ) = ( n - 1 ) !Γ (n ) = (n - 1 ) !} $\Gamma (n)=(n-1)!$

ガンマ関数はすべての複素数に対して定義されています。しかし、負の整数やゼロに対しては定義されていません。実数部が負の整数でない複素数については、関数は次のように定義されます。

実軸の一部に沿ったガンマ関数

物件情報

特殊な値

ガンマ関数のいくつかの特定の値があります。

Γ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ( 2 ) = 1 != Γ(5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ(3 ) = 2 ! = 2 Γ(7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ(4 ) = 3 ! = 6 {displaystyle {\begin{array{lll}Gamma (-3/2)&={tfrac {4}{3}}{3}}{Sqrt {\pi }}&approx 2.♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪88622692545 ♪２）＆１！＆１！＆１！ ♪５/２）＆＝{tocolatfrac {3}{4}}{Sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818 ♪３）＆２！＆１！＆１！♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪ ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

円周率関数

ガウスは、円周率関数を導入しました。これはガンマ関数を表す別の方法です。ガンマ関数の意味では、Pi関数は

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t , {displaystyle \Pi (z)=Gamma (z+1)=z;Gamma (z)=int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1},\frac {\rm {d}t}{t}}, }。 $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

然れば

Π( n ) = n !♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ $\Pi (n)=n!\,,$

すべての非負の整数nに対して

アプリケーション

解析的数論

ガンマ関数はリーマン・ゼータ関数の研究に使われます。リーマン・ゼータ関数の性質はその関数式である。

} $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

ベルンハルト・リーマンはこの2つの関数の間の関係を発見した。それは1859年の論文"Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gröse"（"On the Number of the Number of Prime Numbers less than a Given Quantity"）である。

ζ ( z )Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t .♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪} $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

質問と回答

Q:数学におけるガンマ関数とは何ですか?

A: ガンマ関数は、数学の特殊関数の分野で重要なトピックです。

Q:負の整数を除くすべての複素数への階乗関数の拡張とは?

A: ガンマ関数は階乗関数を負の整数を除くすべての複素数に拡張したものです。

Q: 正整数に対するガンマ関数はどのように定義されますか?

A: 正整数の場合、ガンマ関数はΓ(n)=(n-1)！として定義されます。

Q: ガンマ関数はすべての複素数に対して定義されていますか?

A: はい、ガンマ関数はすべての複素数に対して定義されています。

Q: ガンマ関数は負の整数と 0 に対して定義されていますか?

A: いいえ、ガンマ関数は負の整数とゼロに対して定義されていません。

Q: 実部が負の整数でない複素数に対して、ガンマ関数はどのように定義されますか?

A:実部が負の整数でない複素数のガンマ関数は、本文中には書かれていない特定の公式で定義されます。

Q: ガンマ関数はなぜ数学で重要なのですか?

A: ガンマ関数が数学で重要なのは，特殊関数分野の重要なトピックであることと，階乗関数を負の整数を除くすべての複素数に拡張しているためです．