アーベル群：定義、例、構造定理と応用

基本性質と記法

演算 ⋆ をもつ集合 G がアーベル群であるためには、閉性、結合法則、単位元の存在、すべての元についての逆元の存在に加え、可換法則を満たさなければならない。多くの著者はアーベル群に加法的記法を採用し、演算を +、単位元を 0、a の逆元を −a と書く。基本的な帰結として、次が挙げられる。

• アーベル群の任意の部分群および任意の商群はアーベル群である。
• 交換子部分群が自明群であることと、その群がアーベル群であることは同値である。
• アーベル群の有限個の直積はアーベル群である。

代表的な例

アーベル群には、次のような多様な例がある。

• 加法に関する整数 Z、および同様に有理数、実数、複素数の加法群。
• 有限位数の一つの元で生成される Z/nZ などの有限巡回群。
• ベクトル加法についてアーベル群とみなした、体上のベクトル空間。
• 数論と暗号理論で重要な楕円曲線上の点の群。これは割線・接線法則についてアーベル群となる。

構造と分類

有限生成アーベル群には厳密な分類がある。このような各群は、自由部分（整数 Z のコピーからなる部分）と、巡回群から構成される有限ねじれ部分との直和に同型である。この主張は不変因子表示または素数冪成分への分解の形で述べられることが多く、いずれも群がより単純な巡回成分へどのように分解されるかを記述する。この分類は、アーベル群に関する問題を Z と有限巡回群に関する問題へ還元するための基礎的結果である。

歴史と文脈

「アーベル」という名称は、方程式と代数的構造に関する研究を通じて、代数学における可換性の研究に影響を与えた19世紀のノルウェーの数学者ニールス・ヘンリク・アーベルに由来する。この概念は現代代数学における標準的な研究対象となり、準同型、完全列、加群論などの多くの考え方を展開し検証する、最も単純な非自明の枠組みを与える。

用途と区別

アーベル群は、代数的位相幾何学におけるホモロジー群、代数的数論における類群、環の加法群、整数上の加群として、数学の広い領域に現れる。演算の順序が重要となり、多くのよく知られた簡約が成り立たない非アーベル群とは対照的である。ある群がアーベル群であると分かれば、計算と理論の両方が簡単になる。一般の群では難しい、あるいは成り立たない多くの証明が、可換な状況では初等的になる。入門的な内容とより広い群論との関連については、群論の標準的な文献を参照されたい。