群（数学）｜定義・例・性質と応用

形式的定義

形式的には、群とは集合Gに二項演算・（しばしば要素を並べるだけで表す）を備え、次の三つの公理を満たすものである。通常、公理は以下のように述べられる。

• 結合則：G のすべての a、b、c について、(ab)c = a(bc) が成り立つ。
• 単位元：G に e が存在し、G のすべての a に対して ea = ae = a となる。
• 逆元：G の各 a に対し、ab = ba = e を満たす b が G に存在する。

任意の二要素を組み合わせた結果が同じ集合の要素となるという条件は閉性と呼ばれ、通常は演算の定義の一部として理解される。

基本的な例

具体例は概念の理解に役立つ。代表例には次のものがある。

• 加法に関する整数。単位元は 0 で、逆元は符号を反転させた数である。
• 乗法に関する 0 でない実数。単位元は 1、逆元は 1/x である。
• 有限集合の置換を、一方の置換の後に他方を行うことで合成したもの（対称群）。
• 行列の乗法に関する可逆行列。これは線形代数と幾何学において重要である。

重要な概念と区別

群は多くの性質により分類・研究される。演算が可換、すなわちすべての要素について ab = ba である群はアーベル群と呼ばれ、そうでない群は非アーベル群である。それ自体が群となる部分集合は部分群である。演算を保つ群の間の写像は準同型といい、準同型の核と像は決定的な役割を果たす。部分群が正規部分群であるとき、商群を構成でき、これは部分群が全体の中にどのように位置しているかを捉える対象である。

歴史的注記と発展

群の考え方は19世紀、多項式方程式と根の置換に関する研究から生まれた。エヴァリスト・ガロアとアーサー・ケイリーなどの数学者は初期の発展で中心的な役割を果たした。ガロアは方程式の可解性を研究するために置換の構造を用い、後の研究者は今日の群を定義する公理を抽象化し体系化した。時を経てこの概念は、代数学、幾何学、解析学にまたがる統一的な言語となった。

用途と重要性

群は物理系や数学的対象における対称性を表し、数論、位相幾何学、代数幾何学の一部を支える。また、結晶学から素粒子物理学、暗号学まで幅広い応用に現れる。有限群か無限群か、単純か合成的かといった群の構造を理解することは、分類問題や不変量の研究を導く。入門的・発展的な解説については、代数的構造に関する資料と数論と代数学の概説を参照。

置換群、行列群、リー群など特定の族についての平易な解説や追加の文献は専門資料を参照するか、集合と構造の概要、および演算に関するオンライン講義ノートの入門的解説を参照するとよい。