数の絶対値は、符号に関係しない大きさであり、値が0からどれだけ離れているかを測る。初等数学では、実数 x の絶対値は |x| と書き、abs(x) と表すこともある。負号を取り除くため、|3| = 3、|−3| = 3 となる。概念的には数直線上での0からの距離であり、常に非負である。
定義と基本的性質
実数では、絶対値は単純な場合分けで定義される。x ≥ 0 のとき x、x < 0 のとき −x である。この定義により、代数学や解析で役立つ基本性質が成り立つ。関数は偶関数であり、|x| = |−x| である。また正定値で、すべての x について |x| ≥ 0、かつ |x| = 0 となるのは x = 0 のときに限られる。
- 乗法性: |xy| = |x| |y| は、実数でも複素数でも成り立つ。
- 三角不等式: |x + y| ≤ |x| + |y|。解析と幾何の要点となる不等式である。
- 差の形: |x − y| は、数直線上で x と y の距離を表す。
これらの性質は、不等式を解くとき、誤差を見積もるとき、数列や級数の収束を示すときに繰り返し用いられる。
複素数と拡張
複素数 z = a + bi に対して、絶対値（しばしばモジュラスとも呼ばれる）は距離の概念を一般化し、|z| = √(a² + b²) と定義される。これは複素平面で原点からのユークリッド距離である。このモジュラスは、乗法性や三角不等式を含め、実数の絶対値と多くの代数的性質を共有する。モジュラスは、ベクトル空間におけるノルムや、点間の距離を測るメトリックへと自然につながる。複素モジュラスやベクトルのノルムは、線形代数と関数解析の基礎である。
用途、例、問題解決
絶対値は多くの実用場面に現れる。距離を表すとき、区間の方程式を書くとき（たとえば |x − a| < r は a から距離 r 未満の点を表す）、数値計算で誤差の上限を示すとき、応用モデルで区分的な振る舞いを記述するときなどである。初等代数学では、|x| = c のような方程式は（c ≥ 0 なら x = c または x = −c）といった分かりやすい解をもつ。一方、|x| < c や |x| ≥ c のような不等式は区間を与える。プログラミング言語では、関数名が abs や fabs であることが多く、値の正規化や距離計算に使われる。
関連、区別、注目点
絶対値は符号付き大きさと混同してはならない。常に非負の結果を返すからである。抽象的な設定では、絶対値の概念はベクトル空間上のノルムや、体上の絶対値へと一般化される。これらは、非負性、乗法性、三角不等式の類似の公理を満たす。数論や代数幾何では、p進付値のような非アルキメデス的絶対値が、より強い超距離不等式を満たし、幾何学的直観を変える。差異の詳細はノルムと付値の議論を参照するとよい。性質と一般化は現代解析の中心的なテーマである。
歴史的には、符号に依存しない大きさの考え方は初期の算術や幾何に見られる。現在の形式的枠組みは、代数学と解析が公理化されるにつれて標準的になった。授業では、絶対値は基本関数として導入され、その後に距離やノルムの概念を通して捉え直される。計算上の参照、実装、厳密な定義については、関数とノルムに関する資料を参照するとよい。歴史と記法のページが背景を補い、解答例や対話型ツールは絶対値不等式と方程式の解き方を示してくれる。
応用上の使い方や厳密な一般化をさらに学ぶには、距離空間、複素解析、代数的付値に関する資料が役立つ。絶対値は、算術、幾何、解析を結びつける、単純でありながら強力な概念である。距離、モジュラス、ノルム、プログラミングにおける絶対値が自然な次の項目となる。