恒等式 (数学)
この単語の他の意味については、アイデンティティを参照してください。
数学では、恒等式という用語はいくつかの重要な用法がある。
- 恒等式とは、その恒等式で使われる変数をすべて変更しても真であることを示すものである。
数学的な意味での等式は、より特殊な条件下でのみ成立する。これに対して、≡という記号が使われることがある。(ただし、同じ記号を合同関係にも使えるので、誤解を招くことがある)。
例
同一性保持関係
最初の意味の一般的な例として、三角恒等式があります。
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {displaystyle \sin ^{2}theta + Neithercos ^{2}theta =1,} } }. 
のすべての実数値に対して真であるθ {displaystyle \theta }。
(実数R {displaystyle {Mathbb {R}}
はsinとcosのドメインなので)、とは対照的に
cos θ = 1 , {displaystyle \cos θ =1,\,}. 
は、ドメインの部分集合におけるθ{displaystyle \theta } の値に対してのみ真であることを意味します。
アイデンティティ要素
加法的恒等式」と「乗法的恒等式」という概念は、ペアノ公理の中心的な概念である。整数、実数、複素数の「加法的恒等式」は数0である。実数の場合、for all a∈R , {displaystyle ain { {mathbb {R}},}} は「加法恒等式」である。 
0 + a = a , {displaystyle 0+a=a,\,}. 
a + 0 = a , {displaystyle a+0=a,\,}
and
0 + 0 = 0. {displaystyle 0+0=0.JP}. 
同様に、1という数字は整数、実数、複素数の「乗法上の恒等式」である。実数の場合、for all a∈R , {displaystyle ain { {mathbb {R}},}} となる。
1 × a = a , {displaystyle 1times a=a,\,}. 
a × 1 = a , {displaystyle atimes 1=a,\,}
and
1 × 1 = 1. {font color="dict" title="displaystyle 1times 1=1.\｝ 
アイデンティティ機能
恒等関数の一般的な例は恒等順列であり、集合 { 1 , 2 , ... , n } の各要素を送る。{displaystyle \{1,2,\ldots ,n}}
の各要素を自分自身に送ります。
比較
これらの意味は相互に排他的ではなく、例えば、identity permutation は { 1 , 2 , ... , n } の並べ換えの集合のidentity要素である。{displaystyle \{1,2,\ldots ,n}} under compositionのpermutations of { 1 , 2 , ... , n }の集合における恒等要素です。
質問と回答
Q:数学における恒等式とは何ですか?
A:数学における恒等式とは、その恒等式で使われる変数をすべて変えても真である等式のことです。
Q: 数学的な意味での等式が真であるのはどのような場合だけですか?
A: 数学的な意味での等式は，より特殊な条件下でのみ成り立つ．
Q: 恒等式に使われる記号は何ですか?
A: 等式に使われる記号は特定されていないが、おそらく等号（=）が使われる。
Q: 合同関係に使われる記号は何か?
A: 合一関係に使われる記号は恒等式に使われる記号と同じである。
Q: 数学で恒等式という用語はいくつ重要な使い方があるか?
A: 恒等式という用語は数学においていくつかの重要な用法がある．
Q: 数学的な意味での恒等式と等式の違いは何ですか?
A: 等式はその等式で使われる変数をすべて変えても真であるが，数学的な意味での等式はより特殊な条件下でのみ真である．
Q: 等式と合同関係には同じ記号が使われるのですか?
A: はい、同じ記号（≡）は恒等式と合同関係に使えます。
