写像の合成

数学では、関数合成とは、他の2つの関数から新しい関数を作る方法です。

もし、fをXからYへの関数、gをYからZへの関数とすると、f構成されたgはg f a function from XからZへの関数と書かれます(以下で説明するように、通常は逆の書き方で書かれていることに注意してください)。

入力 x を与えられた f の値は f(x) と書きます。入力 x が与えられた g f の値は (g f)(x) と書かれ、g(f(x)) と定義されます。(fで構成されたgの書き方に意味があることを意味します)。

ここにもう一つの例があります。fは数を2倍にする(2倍にする)関数、gは数から1を引く関数とします。

これらは次のように書かれているでしょう。

f ( x ) = 2 x {displaystyle f(x)=2x}. {\displaystyle f(x)=2x}

g ( x ) = x - 1 {displaystyle g(x)=x-1}. {\displaystyle g(x)=x-1}

fで構成されたgは、数字を2倍にしてそこから1を引く関数になります。

( g f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g f)(x)=2x-1}. {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1}

gで構成されたfは、数から1を引いて2倍にする関数でしょう。

物件情報

関数の構成が連想的であることを証明することができます。

f ∘ ( g h ) = ( f g )∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}. {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}

しかし、関数の構成は一般的に可換的ではありません。

f g ≠ g f {\displaystyle f ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪} {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f}

これは、(g f)(2) = 2*2 - 1 = 3、(f g)(2) = 2*(2-1) = 2である最初の例で見ることができます。

質問と回答

Q:関数合成とは何ですか?


A:関数合成とは、2つの関数から連鎖的に新しい関数を作る方法です。

Q:fと合成されたgの値はどのように書かれるのですか?


A:fと合成されたgの値は,(g ∘ f)(x) と書かれ,g(f(x))と定義される.

Q:関数の例にはどのようなものがありますか?


A:例えば、ある数を2倍にする(2倍する)関数や、ある数から1を引く関数がある。

Q:fと合成されるgの例とは?


A:fと合成されたgの例は、数を2倍にして、それから1を引く関数である。つまり、(g ∘ f)(x)=2x-1 です。

Q:gと合成されたfの例とは何でしょうか?


A:ある数から1を引き、それを2倍にする関数がgと合成されたfの例である.

Q:合成は二項関係にも一般化できるのか?


A:はい、合成は2項関係にも一般化でき、同じ記号で表現されることがあります(R ∘ Sのように)。

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