写像（関数）の合成とは：定義・記法・具体例で学ぶ基礎

写像（関数）の合成を定義・記法・具体例でやさしく解説。g∘fの意味や計算手順、順序の違いと応用まで基礎から学べる入門ガイド。

数学では、関数の合成は、2つの関数から新しい関数を作る基本的な操作です。

定義と記法

関数 f を X から Y への写像、関数 g を Y から Z への写像とします。ここで値域（fの出力）が g の定義域と一致または含まれているとき、f と g は合成できます。g∘f（「g 後に f」または「g の f による合成」）は X から Z への関数で、記法と値は次のように定義されます。

(g∘f)(x) = g(f(x))（すなわち、まず x に f を適用し、その結果に g を適用する）

この順序に注意してください。多くの教科書・資料でも同じ表記が使われますが、「∘」の読み（どちらが先か）を混同しないように気をつけましょう。

具体例

例をひとつ示します。次のように定義された関数を考えます。

fは数を2倍にする（2倍にする）関数、gは数から1を引く関数とします。

これらは次のように表されます。

f ( x ) = 2 x {displaystyle f(x)=2x}.

g ( x ) = x - 1 {displaystyle g(x)=x-1}.

このとき、f の後に g を適用する合成 g∘f は、「数をまず2倍にしてから1を引く」操作になります。計算は次の通りです。

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g ∘ f)(x)=2x-1}.

一方、f∘g は「数から1を引いてから2倍する」操作で、

(f∘g)(x) = f(g(x)) = 2(x - 1) = 2x - 2 となります。

この例から分かるように、一般に合成は可換ではありません：g∘f ≠ f∘g であることが多い、という点に注意してください。

合成の性質

• 結合律（結合性）：任意の適切に定義された写像 f, g, h に対して、(h∘g)∘f = h∘(g∘f) が成り立ちます。括弧の位置は結果に影響しません（ただし定義域・値域の整合性は必要）。
• 単位元（恒等写像）：各集合 X に対して恒等写像 id_X があり、任意の f:X→Y に対して id_Y∘f = f = f∘id_X が成り立ちます。
• 定義域と値域の整合性：合成 g∘f が意味を持つためには、f の値域が g の定義域に含まれている必要があります。そうでなければ g(f(x)) を定義できません。
• 逆写像：もし f が可逆（全単射）なら、f^{-1} が存在し、f^{-1}∘f = id、f∘f^{-1} = id となります。

注意点と補足

• 表記に慣れるまでは、(g∘f)(x) = g(f(x)) の順序（どちらが先に適用されるか）を確認する習慣をつけましょう。
• 関数の合成は演算として非常に基本的で、解析学・線形代数・写像の理論・プログラミング（関数合成を用いる関数型パラダイム）など多くの分野で使われます。

まとめると、関数の合成は「ある関数の出力を別の関数の入力として使う」操作で、記法としては (g∘f)(x)=g(f(x))

質問と回答

Q:関数合成とは何ですか?

Q:fと合成されたgの値はどのように書かれるのですか?

Q:関数の例にはどのようなものがありますか?

Q:fと合成されるgの例とは?

Q:gと合成されたfの例とは何でしょうか?

Q:合成は二項関係にも一般化できるのか?

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