写像の合成

数学では、関数合成とは、他の2つの関数から新しい関数を作る方法です。

もし、fをXからYへの関数、gをYからZへの関数とすると、fで構成されたgは、g ∘ f a function from XからZへの関数と書かれます（以下で説明するように、通常は逆の書き方で書かれていることに注意してください）。

入力 x を与えられた f の値は f(x) と書きます。入力 x が与えられた g ∘ f の値は (g ∘ f)(x) と書かれ、g(f(x)) と定義されます。(fで構成されたgの書き方に意味があることを意味します)。

ここにもう一つの例があります。fは数を2倍にする（2倍にする）関数、gは数から1を引く関数とします。

これらは次のように書かれているでしょう。

f ( x ) = 2 x {displaystyle f(x)=2x}. $f(x)=2x$

g ( x ) = x - 1 {displaystyle g(x)=x-1}. $g(x)=x-1$

fで構成されたgは、数字を2倍にしてそこから1を引く関数になります。

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g ∘ f)(x)=2x-1}. $(g\circ f)(x)=2x-1$

gで構成されたfは、数から1を引いて2倍にする関数でしょう。

物件情報

関数の構成が連想的であることを証明することができます。

f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g )∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}. $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

しかし、関数の構成は一般的に可換的ではありません。

f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪} $f\circ g\neq g\circ f$

これは、(g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3、(f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2である最初の例で見ることができます。

A:関数合成とは、2つの関数から連鎖的に新しい関数を作る方法です。

A:fと合成されたgの値は，(g ∘ f)(x) と書かれ，g（f（x））と定義される．

A:例えば、ある数を2倍にする（2倍する）関数や、ある数から1を引く関数がある。

A:fと合成されたgの例は、数を2倍にして、それから1を引く関数である。つまり、(g ∘ f)(x)=2x-1 です。

A:ある数から1を引き、それを2倍にする関数がgと合成されたfの例である．

A:はい、合成は2項関係にも一般化でき、同じ記号で表現されることがあります（R ∘ Sのように）。