等長変換：幾何学における距離を保存する変換

基本的性質と主な種類

計量空間 (X, d_X) から (Y, d_Y) への等長変換 f は、X の任意の二点 x、x' に対して、d_Y(f(x), f(x')) = d_X(x, x') を満たす。主な性質には次のものがある。

• 距離の保存：すべての点の組における距離が変わらない。
• 多くの状況での全単射性：ある空間からそれ自身への等長変換は、通常は全単射で逆写像をもち、その逆写像も等長変換である。
• 合成に関する閉性：二つの等長変換を合成すると、再び等長変換となる。自己等長変換は合成に関して群をなす。

ユークリッド平面および空間でよく知られる種類は、次のとおりである。

• 平行移動：すべての点を一定のベクトルだけ移す変換。
• 回転：定められた中心または軸のまわりに平面または空間を回す変換。
• 反射：直線または平面に関して折り返す変換。
• すべり反射：反射と、反射軸に平行な平行移動を組み合わせた変換。

歴史的・概念的背景

変換のもとで長さが保存されるという考え方は、図形の合同が中心的な概念であった古典幾何学にさかのぼる。時代とともにこの概念は抽象化され、計量空間では距離保存写像を意味するようになった。リーマン幾何学では、等長変換は計量テンソルを保存する微分同相写像であり、したがって曲線の長さと角度を保存する。等長変換群の研究は、幾何学を代数学および対称性の理論と結び付ける。

例・応用・意義

等長変換は多くの分野に現れる。初等幾何学における二つの多角形の合同の証明、化学における分子や結晶の対称性の記述、コンピュータグラフィックスやCADにおける歪みのない物体操作、微分幾何学における等質空間の分類などが例である。応用上、厳密な等長変換は理想化である場合もあるが、物理学や工学における剛体運動の有用なモデルとなる。

区別と注目すべき点

部分集合間の距離保存写像が、周囲の空間全体へ拡張できるとは限らない。このような写像は、全域的な等長変換ではなく等長埋め込みと呼ばれることがある。また、向きは保存される場合も反転される場合もある。回転と平行移動は向きを保存する一方、反射は向きを反転する。多くの証明や構成では、等長変換群の代数的構造、すなわち古典的な場合における直交群やユークリッド群が中心的な役割を果たす。

関連する話題のより形式的な定義や参考文献については、関連資料を参照。