二等辺三角形とは、2辺の長さが等しい平面図形である三角形です。用語の適用範囲は著者によって異なり、ちょうど2辺が等しいものに限る場合もあれば、少なくとも2辺が等しいものを含め、正三角形をその特別な場合として扱う場合もあります。一般的な背景については 幾何学 と 三角形 の項目を参照してください。代表的な名称付きの例としては、二等辺直角三角形や黄金三角形があり、いくつかの双錐体や特定の カタラン立体 の面も二等辺三角形になります。
基本的な部分と記法
通常の説明では、等しい2辺を脚、等しくない辺を底辺と呼びます。脚が交わる頂点はしばしば頂点、あるいはアペックスと呼ばれます。等しい辺に対向する2つの角は底角であり、退化していない二等辺三角形では、これらの底角は合同で、しかも必ず鋭角です。対称軸は、頂点を通り底辺に垂直な二等分線で、三角形の多くの性質において中心的な役割を果たします。
重要な幾何学的性質
二等辺三角形の定理とその逆は基本です。等しい辺は等しい底角を導き、等しい底角は等しい辺を導きます。頂点から下ろした高さは、いくつもの役割を同時に担います。すなわち、高さであり、底辺への中線であり、頂角の角の二等分線であり、さらに底辺の垂直二等分線でもあります。重要な中心である外心、内心、重心はいずれも対称軸上にありますが、正三角形の場合を除けば底辺からの距離はそれぞれ異なります。正三角形ではこれらは一致します。
簡単な公式
脚の長さがどちらも a、底辺の長さが b のとき、初等的な公式で高さ、面積、周長を a と b で表せます。頂点から高さを下ろすと、底辺は長さ b/2 の2つの等しい部分に分かれ、三角形が退化していないなら高さ h は h = √(a^2 - (b/2)^2) となります。そこから面積は A = (1/2)bh = (b/4)√(4a^2 - b^2) と書けます。周長は P = 2a + b です。これらの関係は、作図、座標配置、工学計算で便利です。
歴史と数学的発展
二等辺三角形は、平面図形の研究の初期から現れます。古代の数学者は、実用的な測量や古典文献に記された定理の中でこれを用いました。こうした性質はユークリッド幾何学の一部として形式化され、多くの初等的な証明では、合同や対称性に関する議論の基本要素として二等辺三角形が使われます。時代を通じて、合同、相似、三角法を学ぶための重要な教材であり続けています。
用途、例、注目すべき区別
二等辺三角形は、その対称性が構造上も見た目の上でも利点をもたらすため、意匠や建築で目立ちます。ペディメント、屋根の妻壁、トラスの形に現れ、また敷き詰め模様や装飾の繰り返しモチーフとしても用いられます。数学や結晶学では、ある種の多面体の面の形や幾何学的構成の要素として現れます。黄金二等辺三角形は五角対称と黄金比に関係します。三角形は頂角の大きさによって鋭角、直角、鈍角に分類できますが、その分類は等しい2辺の間の角だけで決まり、底角の2つは鋭角のままです。より専門的な内容については、正三角形 の場合の扱い、角度の詳細な議論（鋭角と鈍角）、および多面体の面（カタラン立体）を参照してください。
有用な観察と問題
- 頂点から底辺へ下ろした垂線は三角形の対称線であり、この線に関して反転しても同じ形になります。
- 2辺が等しいため、合同を示す多くの方法（たとえば「辺-角-辺」）は、二等辺の場合にはより簡単な確認に帰着します。
- 座標配置は容易です。底辺を水平軸上に置き、原点を中心にすると、左右対称の座標が得られ、代数的な処理がしやすくなります。
図や例を確認するには、一般的な幾何学の資料や、三角形の作図と対称性に関する専門記事を参照してください。関連項目として、三角形と多角形の対称性も見てください（幾何学、三角形）。