線形結合：定義、表記、例、性質と応用
線形結合とは、他の要素のスカラー倍を加え合わせて要素を表す式である。線形代数における中心的概念であり、張る空間、従属性、座標、数学・工学での応用に関わる。
線形結合とは、ある対象の集まりの各々にスカラーを掛け、その結果を加え合わせて作られる式である。初等的な場合、対象は数またはベクトルであり、スカラーは実数または複素数である。より一般的な代数的文脈では、スカラーは体または環から取られる。この考え方は、拡大縮小と加法だけを用いて、ある要素を他の要素からどのように構成できるかを表す。
画像ギャラリー
1 画像
形式的な考え方と表記
要素 v₁, v₂, …, vₙ とスカラー a₁, a₂, …, aₙ が与えられたとき、式 a₁v₁ + a₂v₂ + … + aₙvₙ を、係数 aᵢ をもつ vᵢ の線形結合という。この結合が特定の目標要素 w に等しいとき、w は vᵢ の線形結合であるという。このような結合すべてからなる集合を {v₁, …, vₙ} の張る空間という。
代表的な例
- ℝ² では、3(1,0) + 2(0,1) = (3,2) は標準基底ベクトルの線形結合である。
- 多項式では、2 + 5x − x² は、係数 2、5、−1 をもつ 1、x、x² の線形結合である。
- 関数では、a f + b g は、各点での結合 a・f(x) + b・g(x) を表す。
性質と区別
線形結合は、線形従属と線形独立の概念の基礎となる。ある集合について、非自明な線形結合が零要素を与える場合、その集合は従属である。張る空間は、その集合を含む最小の線形部分空間を与える。環上の加群でも類似の定義が成り立つが、スカラーが体であるとは限らないため、いくつかの性質は異なる。
歴史と応用
この概念は、19世紀から20世紀初頭にかけての線形代数とベクトル空間の発展とともに形成された。線形結合は、線形方程式系の解法、行列による解の表現、基底と座標の定義に不可欠である。また、線形モデルや重ね合わせが成り立つ場面では、応用数学、物理学、データサイエンス、工学の全般に現れる。
関連項目
著者
AlegsaOnline.com 線形結合：定義、表記、例、性質と応用 Leandro Alegsa
URL: https://ja.alegsaonline.com/art/58259
出典
- mathworld.wolfram.com : "Linear Combination"