線形関数（アフィン形式と線形写像）

主な特徴

よく知られた1変数の形式 y = mx + b については、次の特徴がある。

• 傾き（m）：直線の一定の変化率、または急勾配の度合い。
• y切片（b）：x = 0 のときの y の値であり、直線を上下に移動させる。
• 定義域と値域は、制限がない限り通常はともにすべての実数である。

ベクトル空間間の線形写像 f では、線形性とは f(u + v) = f(u) + f(v) および f(cu) = c f(u) が成り立つことをいう。このような写像は必ず零ベクトルを零ベクトルへ送る。また、基底を選べば行列で表現できる。基本的な定義は基本的な定義、より形式的な説明は線形写像を参照。

例と区別

y = 2x - 1 は直線であるが、0 を 0 に送らないため、線形代数における意味では線形写像ではない。関数 y = 3x は、1次多項式であると同時に、ℝ から ℝ への線形写像でもある。定数関数 y = c はアフィン関数であり、y = 0 だけが線形写像である。垂直線 x = a は線形関係ではあるが、関数 y(x) ではない。

歴史と用途

直線によって関係を表す方法は、ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーが発展させた解析幾何学にさかのぼる。線形関数は物理学、経済学、統計学（たとえば線形回帰）における初等的なモデルとして用いられ、線形方程式系と高次元への一般化を扱う線形代数の多くの基礎をなしている。

注目すべき事実

• 用語法には違いがあり、中等教育向けの資料では1次多項式を「線形」と呼ぶことがある一方、線形代数では斉次性が要求される。
• 線形関数の系は行列、行列式、固有値へとつながり、科学と工学の広い分野で応用される。