軌跡（数学）：幾何学的条件で定まる点の集合

定義と基本的性質

形式的には、軌跡とは、性質または述語が真となる点Pの集合である。その性質は、距離に関する関係、角度の制約、代数方程式、あるいは不等式の組合せであってよい。解析幾何学では軌跡は方程式または方程式系で表され、古典的な総合幾何学ではコンパスと定規による作図から得られる。軌跡は有限にも無限にもなり、曲線や曲面のように連続的なものも、有限個の点の集合のように離散的なものもある。

代表的な例

• 幾何学では、線分の垂直二等分線は、その線分の両端点から等距離にある点の軌跡である。
• 集合として定義される軌跡の例として、2つの定点からの距離の和が一定である点の集合は楕円となる。
• ある中心から一定の距離にある点の集合は、平面では円である。
• 三次元では、平面の断面や球面が典型的な曲面の軌跡である。
• 放物線や双曲線のような曲線となる軌跡もある。これらは代数方程式、または焦点・準線の条件で記述でき、曲線論と関係する。

歴史と記述方法

軌跡の研究は、作図によって問題の解の集合を見いだした古代ギリシアの幾何学にまでさかのぼる。デカルトらによる解析幾何学の発展に伴い、軌跡は方程式で表せるようになり、代数的な操作と分類が可能になった。現代では、集合論と位相幾何学を用いて、軌跡の連続性、閉包、次元性を記述する。

応用と重要な区別

軌跡は、幾何学的作図、最適化、運動学（動く点が描く経路）、複素解析（等位集合や偏角の軌跡）に現れる。重要な区別として、軌跡は時間や順序を考慮しないのに対し、軌道はそれらに関わる点がある。また、方程式で定まる陰的な軌跡と、動く点が描く媒介曲線も区別される。条件が厳しい場合には、1点のみや交差する直線のような退化した軌跡も生じる。

軌跡を理解することは、視覚的な直観と代数的表現を結び付ける助けとなり、幾何学、代数学、応用数学における基礎的な概念となっている。