量化

論理学では、ある条件を満たす要素の数が一定であることを示すのが量詞です。例えば、すべての自然数には、それより大きな別の自然数がある。この例では、"every "という単語が量詞です。したがって、「すべての自然数は、それよりも大きな別の自然数を持っている」という文は、数量化表現です。定量器と定量化表現は、形式言語の便利な部分です。これらは、ある基準がどれだけ広範囲に渡っているかを厳密な文で主張することができるので便利です。述語論理で使われる基本的な量化表現には、普遍量化表現と実存量化表現の2種類があります。普遍量化子は、考慮されるすべての要素が基準を満たすことを表します。普遍量化子は、"∀"、つまり逆さまの "A "で象徴され、"all "を表します。存在量詞（"∃"で象徴される）は、考慮された少なくとも1つの要素が基準を満たすことを述べる。存在量化詞は "∃" で象徴され、逆さの "E" で "exists" を表します。

量詞は自然言語でも使用されます。英語での量詞の例は、for all, for some, many, few, a lot, no です。

数学

この文は無限に長い。

1 - 2 = 1 + 1、2 - 2 = 2 + 2、3 - 2 = 3 + 3、・・・、100 - 2 = 100 + 100、・・・、など。

これは形式言語の問題で、形式文は有限の長さである必要があるからです。このような問題は、普遍的な量化を用いることで回避できます。これにより、次のようなコンパクトな文になります。

各自然数nに対して、n - 2 = n + n。

同じように、orで結ばれた無限の文の列を短くすることができます。

1 は 5 + 5 に等しい、または 2 は 5 + 5 に等しい、または 3 は 5 + 5 に等しい、......。や、100は5＋5に等しい、...などです。

となり、実存的数量化を用いて書き換えることができます。

少なくとも1つの自然数nについて、nは5+5に等しい。

表記方法

最も広く使用されているのは、普遍的量化詞と存在量化詞の2つです。

普遍量詞は、ある集合の要素について、その要素がすべてある基準に合致することを主張するために使われます。通常、この「すべての要素について」という文は、「A」を逆さまにして「∀」と略されます。

実存的量詞は、ある集合の要素について、ある基準に合致する要素が少なくとも1つ存在することを主張するために用いられる。通常、この「ある要素が存在する」という文は、「E」を逆さまにして「∃」と短縮されます。

例題の英文を、記号、基準を表す述語、量詞で書き換えてみます。例題は「Peterの友人のそれぞれが、ダンスが好きか、ビーチに行くのが好きか」です。XをPeterの友人全員の集合とする。P(x)を「xは踊るのが好き」という述語とします。Q(x)を「xはビーチに行くのが好き」という述語とします。この例題を形式的な表記に直すと、 ∀ x∈X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {\\in }X,P(x)\lor Q(x)} $\forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)$ となります。この文は、"Xのメンバーであるすべてのxについて、Pがxに適用されるか、Qがxに適用される "と読むことができる。

形式言語での量詞の使い方は他にもあります。以下の各文は，∃ x ∈ X , P ( x ) {˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ }X,P(x)}と同じことを言っている $\exists {x}{\in }X,P(x)$ ．

∃ x P {\\\\P}。 $\exists {x}P$
( ∃ x ) P {\\ (x})P}。 $(\exists {x})P$
( ∃ x . P ) {\\\ P}。 $(\exists x\ .\ P)$
∃ x ⋅ P {\\\\\\\\\\\\}。 $\exists x\ \cdot \ P$
( ∃ x : P ) {\\ (exists x:P)}。 $(\exists x:P)$
∃ x∈X P {\\exists {x}{in }X\,P}。 $\exists {x}{\in }X\,P$
∃ x : X P {displaystyle ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ } X\,P $\exists \,x{:}X\,P$

普遍的な量詞を表現する方法は他にもいくつかあります。

( x ) P {\displaystyle (x)\,P} $(x)\,P$
⋀ x P {˶‾᷄ꐦꐦꐦꐦꐦꐦ}}。 $\bigwedge _{x}P$

上記のいくつかの文では、量化詞が適用される要素の集合であるXを明示的に含んでいます。この要素のセットは、量化の範囲、または談話の宇宙とも呼ばれます。上記のステートメントの中には、このようなセットが含まれていないものもあります。この場合は、文の前に集合を指定する必要があります。例えば，「xはリンゴである」という文は， ∃ x P ( x ) {\\exists {x}P(x)} $\exists {x}P(x)$ の前に記述しなければならない．この場合，少なくとも1個のリンゴが述語Pに適合するということを表明していることになる．

この記事ではxという記号を使っていますが、yのようにどんな記号でも構いません。記号を選ぶ際には、2つの異なるものを同じ記号で参照しないように注意してください。

ネスティング

量詞を正しい順序で並べることが大切です。これは、順序によって意味が変わることを示す英語の例文です。

すべての自然数nに対して、s＝n²となる自然数sが存在する。

この文は正しい。すべての自然数は正方形を持っているということです。しかし、量詞の順序を逆転させると

すべての自然数nに対して、s＝n²となるような自然数sが存在する。

この文は誤りです。すべての自然数の2乗となる自然数sが1つあると主張している。

特定の状況では、量詞の順序を変えても、文の意味は変わりません。例えば

自然数xが存在し、x＝yとなる²自然数yが存在する。

その他の量詞

また、数学者が使用するあまり一般的ではない量詞もあります。

例えば、解答の定量化です。これは、どの要素が特定の方程式を解くかを示すために使用されます。解法量化詞は§（セクション記号）で表されます。例えば，次の文は，0，1，2の二乗が4より小さいことを主張している．{0,1,2\\ right}} =\\ $\left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\left\{0,1,2\right\}$

他の量詞は

そのような要素はたくさんあります。
そのような要素はほとんどありませんが...。
となるような要素が無限に存在する。
有限個の要素以外のすべての要素について...(ほとんどすべての要素について...と表現されることもあります)。
数え切れないほど多くの要素があり、そのような要素は...。
数え切れないほどの数の要素を除いたすべての要素について...

沿革

項論理はアリストテレスによって開発された。初期の論理学であり、数量化も含まれていた。定量化の使い方は自然言語に近いものでした。そのため、数量化を用いた項論理の文は、形式的な分析には適していない。紀元前4世紀には、「All」、「Some」、「No（なし）」などの量詞を含む項論理が登場している。

1879年、ゴットロブ・フレーゲは普遍的数量化のための表記法を考案した。現在とは異なり、彼は直線のくぼみの上に変数を書くことで普遍的な量化を表現しました。フレーゲは実存的量化の表記法を作ったわけではない。その代わりに、普遍的な量化といくつかの否定を組み合わせて、同等の文を作ったのです。フレーゲが定量化を用いたことは、1903年にバートランド・ラッセルが『Principles of Mathematics』を発表するまで広く知られていなかった。

1885年、チャールズ・サンダース・パースとその弟子のオスカー・ハワード・ミッチェルも、普遍量詞と実存量詞の表記法を作りました。彼らはΠ_xとΣを現在の∀xと∃xの_xように書きました。ピアスの表記法は1950年代まで多くの数学者に使われた。

1897年、ウィリアム・アーネスト・ジョンソンとジュゼッペ・ペアーノは、普遍量化と実存量化のための別の記法を作った。彼らは、ピアノの以前の量化表記法に影響を受けた。ジョンソンとピアノは、普遍的な量化には単純な(x)を、実存的な量化には∃xを用いた。ピアノが数学に与えた影響は、この表記法をヨーロッパ中に広めた。

1935年、ゲルハルト・ゲンツェンが普遍的な数量化のために∀という記号を作った。この記号が広く使われるようになったのは1960年代に入ってからである。

質問と回答

Q: 量子化とは何ですか?

A: 量子化とは、ある一定の数の要素がある基準を満たすことを示す方法です。

Q: 量子化された表現の例は何ですか?

A:「すべての自然数には、それよりも大きな自然数がある」というのが、数量化表現の例です。

Q: 量子体や数量化式はなぜ便利なのですか?

A:量化子や量化式が有用なのは、ある基準がどれだけ広範囲に及ぶかを厳密な記述で主張できるようにするためです。

Q: 述語論理で使われる2種類の基本的な量化詞は何ですか?

A:述語論理で使われる2つの基本的な量化子は、普遍量化子と実存量化子です。

Q: 普遍量化子は何を表すのですか?

A:普遍量化子は、考慮されたすべての要素が基準を満たすことを表明します。

Q:普遍量化子の記号は何ですか?

A:普遍量化子の記号は、「A」を逆さにした「∀」で、「すべて」を表します。

Q:存在量化器は何を表すのですか?

A:存在量化子は、少なくとも1つの要素が基準に適合していることを示します。

Q: 存在量化詞の記号は何ですか?

A: 存在量化子の記号は「∃」で、「E」を逆さにしたもので、「存在する」を表します。

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