地図投影：地球の曲面を平面地図に表現する方法

投影の仕組み

投影を直感的に考える一つの方法は、光と影の模型である。光源からの光が地球儀上の点を円筒・円錐・平面などの別の面へ投影し、その面を「展開」して平面地図を作ると考える。実際には、投影法は曲面上の緯度・経度座標を平面座標へ変換する数式によって定義される。専門の地図作製者は、特定の性質を保つよう調整された幅広い数学的投影法を用いる。

主なひずみの種類

すべての地理的性質を同時に保存できる投影法はない。ひずみは一般に、次の区分で捉えられる。

• 面積 — 地域が比例した大きさを保つかどうか。
• 形状（等角性）— 局所的な角度や形が保たれるかどうか。
• 距離 — 地図上で真の距離がどの程度保たれるか。
• 方位 — ある地点からの方位が正確に保たれるかどうか。

投影法には、等積性を目指すもの、等角性を目指すもの、等距離性を持つもの、またはこれらの基準の間で折衷するものがある。

投影法の系統

投影法は、仲介として用いる幾何学的な面、または機能上の性質によって分類されることが多い。代表的な系統には次のものがある。

• 円筒図法 — 円筒に投影する方法。メルカトル図法などがあり、局所的に方位を保つため航海に多く用いられる。
• 円錐図法 — 円錐に投影する方法。ランベルト正角円錐図法などがあり、中緯度地域に有用である。
• 方位図法（平面図法） — 平面に投影する方法。極域の地図や、中心点からの方位を保つ地図に適している。
• 擬円筒図法および折衷図法 — ロビンソン図法やモルワイデ図法など、視覚的に均衡の取れた世界地図を作ることを目指して性質を調整する方法。

歴史と基礎となる結果

球面をひずみなく完全に平面へ写すことが数学的に不可能であることは、微分幾何学における古典的な結果である。19世紀の数学者カール・フリードリヒ・ガウスは、この制約を定式化する重要な定理に寄与した。その研究は、今日驚異の定理と呼ばれるものに関連しており、伸縮を伴わずに曲げるだけでは内在的曲率を取り除けないことを示す。この原理により、投影法が何らかの性質をひずませなければならない理由が説明される。実用的な地図作成では、航海者や探検家、後には統計家や計画立案者に役立てるため、何世紀にもわたって技法と投影法が発展してきた。現代の投影法の選択の多くは、地図学文献や標準における定理の議論、ならびに地図作成の手引きに記録されている。

用途、例、および投影法の選択

使用すべき投影法は、地図の目的によって決まる。海図作成では歴史的に、地図上の直線がコンパスによる針路を近似するメルカトル図法が好まれてきた。人口や気候のデータなど、世界的な分布を示す地図では、地域の大きさを比較できるよう、等積図法がしばしば用いられる。航空図、地域計画図、オンラインのスリッピー地図は、それぞれ縮尺、連続性、計算上の利便性に合わせて最適化された投影法を採用している。

注目すべき事実と実用上の助言

一般の読者や地図利用者が地図を解釈する際には、いくつかの実用的な点が役立つ。大きなひずみは通常、選ばれた接線や標準緯線から遠い場所で生じる。投影法は対象地域のひずみを抑えるために中心を変更でき、現代のGISソフトウェアでは空間データをシステム間で容易に再投影できる。より技術的な入門や例については、教育・専門の地図作成サイトが提供する球面幾何学と投影式の資料、および地図学ポータルの数学的投影法に関する資料を参照できる。さらに、地図作成機関や教科書による手引き、基準資料は地図作製者に関する資料や、ガウスに関する専門的な参考文献から得られる。

地図投影を理解することは、地図を批判的に読み、あらゆる地図作成の課題に最も適した投影法を選ぶうえで不可欠である。