射影（数学）— 幾何学・線形代数・位相・圏論における射影

幾何学的射影

幾何学的射影には、正射影（平行射影）と透視射影がある。正射影では、すべての点を一定方向に平行な直線に沿って平面へ写す。この方法は平面に平行な方向の長さを保つが、遠近による短縮は表現しない。透視射影では、有限の視点へ収束する直線に沿って点を写し、図面やカメラ画像でなじみ深い奥行きの手掛かりを生み出す。このような構成は図法幾何学とコンピュータグラフィックスの基礎をなし、立体的な物体とその平面像を結び付ける。

線形射影と作用素

線形代数において射影とは、ベクトル空間 V 上の線形作用素 P であって、P2 = P を満たすもの、すなわち冪等なものである。像 Im(P) は P により変化しない点からなる部分空間であり、核 Ker(P) は零ベクトルへ写されるベクトルの集合である。V が直和 V = U ⊕ W に分解されるとき、W に沿った U への射影が得られる。重要な特別の場合として、内積空間の部分空間 U への直交射影がある。これは各ベクトルを U 内の最も近い点へ送る一意な線形写像であり、正規直交座標では対称な冪等行列で表される。

行列 U の列が正規直交であるとき、射影行列は U UT と書ける。A が完全列階数をもつ場合には、よく用いられる式は P = A(ATA)−1AT である。線形射影の固有値は 0 または 1 のいずれかである。

座標・位相・圏論における射影

より一般には、射影は構造をもつ対象から一部分を取り出す任意の写像を指しうる。座標射影 π1: X × Y → X は組をその第1座標へ写し、積空間の写像の基本例である。背景については関数の標準的な解説を参照されたい。位相空間論では、積が積位相を備えるとき、このような座標射影は連続全射であり、ファイバー束や積空間の構成に用いられる。圏論では、射影は積対象からその因子への標準的な射である。論理学と集合論では、射影はタプルから成分を選ぶこと、または関係を周辺化することを指す。

• 主要な代数的性質：冪等性 P2 = P、分解 V = Im(P) ⊕ Ker(P)、および線形射影ではスペクトルが {0,1} に含まれること。
• 幾何学上の区別：直交射影と斜射影、平行射影（正射影）と透視射影。それぞれで保たれる量と生じる歪みが異なる。

計算と応用

射影は応用数学とコンピューティングの全域に現れる。コンピュータグラフィックスでは、透視射影と正射影によって三次元の場面を二次元画像へ変換する。統計学と機械学習では、主成分分析が低次元部分空間への直交射影を用いて分散を捉える。数値線形代数では、射影行列と部分空間への射影が最小二乗法のソルバーやクリロフ法の基礎となる。データベース理論では、関係射影演算は表から指定した列を取り出す。さらに読むには、高等数学の入門書や、座標射影および幾何学的像の具体的な例を参照するとよい。

この用語は多くの文脈で用いられるため、意図する意味を文脈によって区別することが有用である。像や視図を論じる場合は幾何学的射影、作用素や行列を論じる場合は線形射影、積や因子への写像を論じる場合は座標射影または圏論的射影を指す。冪等性から導かれる性質の初等的証明や射影行列を計算するアルゴリズムは標準的な線形代数の文献に見られ、計算用ライブラリには実際に射影を構成し適用するためのルーチンが用意されている。