ニュートン法
ニュートン法は、関数の実ゼロを求める方法を提供します。このアルゴリズムは、アイザック・ニュートン卿とジョセフ・ラプソンにちなんで、ニュートン・ラプソン法と呼ばれることもあります。
この方法では、関数の微分を使用して、その根を見つけることができます。ゼロの位置の最初の「推測値」を作成する必要があります。この値から、新しい推測値がこの式で計算されます。
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}}}}}}}}}}}}。 
ここで xn は初期推定値であり、xn+1 は次の推定値である。関数 f (そのゼロが解かれている) は微分 f' を持ちます。
生成された推理にこの式を繰り返し適用することで（つまり、式の出力にxnの値を設定して計算し直すことで）、推理の値は関数のゼロに近づきます。
ニュートンの方法は、x軸との接線の交点を見ることで図式的に説明できます。まず、xnにおけるfに接する直線を計算します。次に、この接線とx軸との交点を求めます。最後に、この交点のｘ位置を次の推測、ｘｎ＋１として記録します。
関数(青)はxnでの接線(赤)の傾きを計算するために使われています。
ニュートン法の問題点
ニュートンの方法は、推測値が目的の根元に十分に近いところから始まる場合には、素早く解を見つけることができます。しかし、最初の推測値が近くない場合や、関数によっては、ニュートンの方法では答えを見つけるのが遅かったり、全く見つからなかったりすることがあります。
続きを読む
- フェルナンデス、J. A. E.、＆ベロン、M. Á.H. (2017).ニュートンの方法。カントロヴィッチの理論の更新されたアプローチ。バークヘーザー．
- Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems.アフィン不変と適応アルゴリズム、第2版。シリーズ 計算数学 35, シュプリンガー (2006)
- 山本俊哉 (2001) 「ニュートン法とニュートンライク法の収束解析の歴史的展開」."ニュートン法とニュートンライク法の収束解析の歴史的展開".Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.).数値解析：20 世紀の歴史的発展.241-263 頁。
質問と回答
Q:ニュートン法とは何ですか?
A:ニュートン法とは、関数の実ゼロを求めるためのアルゴリズムである。関数の導関数を用いて根を計算し、ゼロの位置の初期推測値を必要とします。
Q:この方法を開発したのは誰ですか?
A:アイザック・ニュートン卿とジョセフ・ラフソンによって開発されたので、ニュートン・ラフソン法と呼ばれることもあります。
Q:このアルゴリズムはどのように動作するのですか?
A:このアルゴリズムは、初期推測値（xn）を取り込み、新しい推測値（xn+1）を計算する公式を繰り返し適用することで動作します。このプロセスを繰り返すことで、推測値は関数のゼロに近づいていきます。
Q:このアルゴリズムを使用するために必要なものは何ですか?
A:このアルゴリズムを使うには，与えられた関数の微分に関する知識だけでなく，ゼロの位置に関する最初の「推測値」が必要である．
Q:ニュートン法をどのようにグラフで説明すればよいのですか?
A:ニュートンの方法は，接線とX軸の交点を見ることで説明できます．まず、xnにおけるfの接線を求めます。次に、この接線とx軸との交点を求め、そのx位置を次の推測値-xn+1として記録します。
Q: ニュートン法を使用する際に、何か制限はありますか?
A:はい、最初の推測値が実際のルートから離れすぎている場合、ルート付近で振動したり、ルートから発散したりして、ルートに向かって収束するのに時間がかかったり、失敗したりすることがあります。
