実数とは、合理的な数と非合理的な数のことです。通常、人が「数」と言うときは、「実数」という意味になります。実数の正式な記号は、太字のＲか黒板の太字のＲである。{\displaystyle \mathbb {R} }.

実数の中には、正数と呼ばれるものがあります。正の数とは「ゼロよりも大きい」ということです。実数は無限に長い定規のように考えることができます。大きさが大きい順に、ゼロとそれ以外のすべての数に印があります。定規とは違い、ゼロ以下の数字があります。これを負の実数といいます。負の実数は「ゼロより小さい」ものです。正の数の鏡像のようなもので、正の数とは異なるラベルが付けられるように、マイナス記号（-）が付けられていることを除いては、正の数と同じです。

実数は無限にある。実数には最小も最大もありません。いくら実数を数えても、数えなければならない実数は必ず増える。実数と実数の間には空欄がない．これは、2つの異なる実数を取った場合、最初の2つの実数がどんなに近くにあっても、2つの実数の間には必ず3番目の実数があるということを意味する。

正の数に別の正の数を足すと、その数は大きくなります。ゼロも実数です。ある数にゼロが加えられても、その数は変わりません。負の数を別の数に加えると、その数は小さくなります。

実数は数えられない。つまり、すべての実数を列に入れることはできないということです。実数列が無限にあっても、どのような実数列でも実数を見落とすことになります。これが実数を特殊なものにしています。実数が無限にあって、整数が無限にあっても、整数は数えることができ、実数は数えることができないので、整数よりも実数の方が「多い」と言えます。

もっと単純な数系の中には、実数の中に入っているものもあります。例えば、有理数や整数はすべて実数の中にあります。また、実数よりも複雑な数体系、例えば複素数などもあります。実数はすべて複素数ですが、複素数はすべて実数ではありません。

実数の定義と直感的イメージ

直感的には、実数は数直線上のすべての点に対応する数です。整数や分数（有理数）だけでなく、√2やπのように小数で表したときに終わらない・周期にならない数（無理数）も含まれます。日常で扱う「長さ」「面積」「速度」などの測定値は通常、実数で表されます。

主な性質

  • 順序体（ordered field）：実数は加法・乗法・比較（大小関係）について整った性質を持ちます。たとえば a < b なら a + c < b + c、かつ c > 0 のとき ac < bc が成り立ちます。
  • 完備性（completeness）：実数の重要な性質で、「上に有界な集合は上限を持つ（最小の上界が存在する）」という性質です。この完備性があるため、実数直線には「穴」がなく、連続的な解析が可能になります。完備性は有理数にはない性質です（例：有理数だけで√2の位置に点はない）。
  • 稠密性（density）：任意の2つの異なる実数の間には必ず別の実数（例えばその中点）が存在します。したがって区間の中に無数の実数点があります。
  • 可算性と非可算性：整数や有理数は可算（順番に並べられる）ですが、実数全体は非可算（順番に並べきれない）です。カントルの対角線論法などで示されます。
  • 閉包性：実数は加法・減法・乗法・除法（0で除く場合を除く）で閉じています。つまり2つの実数の和や積は常に実数です。
  • アーキメデス性（Archimedean property）：任意の実数 x に対して、ある自然数 n が存在して n > x となる、つまり自然数は実数上で無制限に大きくできる性質があります。

無限性と可算性（少し詳しく）

「無限にある」という言葉には種類があります。整数や有理数は無限にありますが、これらは「可算無限」と呼ばれ、1つずつ列挙できます。一方で実数は「非可算無限（連続体）」であり、どんな列で並べても必ず列挙されない実数が残ります。カントルの対角線論法は簡単に言うと、任意の小数展開の列を取ると、それらと異なる新しい小数展開（従って異なる実数）を作ることができる、というものです。

実数の代表的な例

  • 整数：…,-2,-1,0,1,2,…（すべて実数の例）
  • 有理数：分数で表せる数（例：1/3 = 0.333…、-5/2 = -2.5）。有理数の小数表示は有限小数か周期小数になります。
  • 無理数（非有理数）：√2, π, e など。小数表示は無限に続き、かつ周期的になりません。
  • その他：二乗根や三角関数の特定値など、多くの日常的・数学的値が実数になります。

実数の表現（構成方法）

数学的には実数を厳密に定義するためにいくつかの方法があります。代表的なものは次の2つです。

  • デデキント切断（Dedekind cut）：有理数集合を二つに分ける切断を用いて、穴の位置に実数を割り当てます。
  • コーシー列（Cauchy sequences）：有理数の収束する列（コーシー列）を同等類にして実数を作る方法です。解析学で使われる構成です。

これらの構成によって、有理数の体系を拡張して完備な実数体を得ることができます。

実数と他の数体系との関係

  • 有理数、整数、自然数はすべて実数に含まれます。
  • 複素数は実数を部分集合として含むより大きな体系で、実数は複素数のうち虚部が0のものに対応します。逆に、すべての複素数が実数であるわけではありません。

まとめ（ポイント）

  • 実数は有理数と無理数を合わせた数の全体で、数直線上のすべての点に対応します。
  • 完備性により「穴のない」連続的な性質を持ち、解析で重要です。
  • 実数全体は非可算で、有理数や整数より「多い」無限集合です。
  • 日常的な量（長さ・時間・温度など）は通常、実数で表されます。