微分 (数学)

誘導体の定義

xに関するyの微分は、x 0 {displaystyle x_{0}} と x 1 {displaystyle x_{1}} の距離が無限に小さくなる（無限小）とき、xの変化に対するyの変化と定義される。数学用語では

f′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {displaystyle f'(a)=LIM _{HATTO 0}{FRAC {f(a+h)-f(a)}{h}}} {DISPLAYSTYLE f'(a)=THE LIM _{h}} {FRAC {f(a+h)-f(a)}{HATA

つまり、2つのx点間の距離（h）が0に近づくと、その間の直線の傾きは接線に近くなる。

引数が変わると関数の「振り」が変化することで、微分を直感的に理解できるようにしたアニメーションです。

関数の微分

一次関数

一次関数（a x + b {displaystyle ax+b} の形で、二次以上の項がない関数）の導関数は一定です。つまり、グラフのある場所での導関数は、別の場所でも同じままである。

従属変数y {displaystyle y} が直接x {displaystyle x} 'の値を取る場合（y = x {displaystyle y=x} ）、線の傾きはどこも1なので、d d x ( x ) = 1 {displaystyle {frac {d}{dx}}(x)=1} がどの場所でも成り立つ。

y {displaystyle y} が x {displaystyle x} の数値を一定値を足したり引いたりすることで変更する場合、グラフを上下に動かしても x {displaystyle x} と y {displaystyle y} の変化は変わらないので傾きは1のままである。つまり、グラフ全体を通して傾きは1のままであり、その微分値も1である。

電源機能

累乗関数（例：x a {displaystyle x^{a}} ）は、傾きが変化するため（指数を持つため）、一次関数とは異なる振る舞いをします。

一般に累乗関数は d d x x a = a x a - 1 {displaystyle {dfrac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}} という法則に従います。.つまり、a を数字の 6 とすれば、d d x x 6 = 6 x 5 {displaystyle {Cfrac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}} となります。

また、あまり知られていない例として、関数 f ( x ) = 1 x {{displaystyle f(x)={Thinkfrac {1}{x}}} があります。これは1/xが指数を使うように単純化できるので、本質的に同じです。

f ( x ) = 1 x = x - 1 {displaystyle f(x)={Thrac {1}{x}}=x^{-1}}}.

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {displaystyle f'(x)=-1(x^{-2})} ｝のようになります。

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {displaystyle f'(x)=-{{frac {1}{x^{2}}}}}.

また、根は、その微分を求めることができる分数指数を使用するように変更することができます。

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {displaystyle f(x)={}sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{prac {2}{3}}} {displaystyle f(x)={}sqrt[{3}]{x^{3}}=x^{prac {2}{3}}=x

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {displaystyle f'(x)={Chefrac {2}{3}}(x^{-{Chefrac {1}{3}})}} ←クリックすると拡大します。

指数関数

a b f ( x ) {displaystyle ab^{fleft(xxxright)}} ここで a {displaystyle a} と b {displaystyle b} は定数、f ( x ) {displaystyle f(x)} は x {displaystyle x} の関数である。指数と多項式の違いは、多項式ではx {displaystyle x} があるべき乗になるのに対し、指数ではx {displaystyle x} がべき乗になることである。

例1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ・ f ′ ( x ) ・ ln ( b ) {displaystyle {frac {d}{dx}}left(ab^{f}left(xright)}}right)=ab^{f(x)}Cdot f'\left(xright)==Cdot ==ln(b)}} {displaystyle}=d{f}{dx}}left(x) {f(x) {f(x)

例2

Find d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {displaystyle {frac {d}{dx}} left(3Θcdot 2^{x^{2}}}) } .

a = 3 {displaystyle a=3}.

b = 2 {displaystyle b=2}.

f ( x ) = 3 x 2 {displaystyle fleft(xright)=3x^{2}}

f ′ ( x ) = 6 x {displaystyle f'\left(x´ω`)=6x} {displaystyle f'⑅right(x´ω`)=6x

そのため

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ・ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {displaystyle {cfrac{d}{dx}} ◇left(3Cdot 2^{3x^{2}}right)=3Cdot 2^{3x^{2}} ◇6xcdot ◇ln \left(2Cdright)=Cann \lft(2Cdright)18xcdot 2^{3x^{2}}}

対数関数

対数の微分は逆数である。

d d x ln ( x ) = 1 x {displaystyle { {dfrac {d}{dx}} ◇ln(x)={frac {1}{x}}} .

例えば、d d x ln ( 5 x ) {displaystyle { {frac {d}{dx}} {ln \left({frac {5}{x}}}right)} を考えてみましょう。これは、(対数の性質により)次のように還元できる。

d d x ( ln ( 5 ) )- d d x ( ln ( x ) ){displaystyle {frac {d}{dx}}(\ln(5))-{frac {d}{dx}}(\ln(x))} -{displaystyle {frac {d}{dx}}(\ln(5))

5の対数は定数なので、その微分は0です。ln(x)の微分は、1 x {displaystyle {displac {1}{x}} .というわけで。

0 - d d x ln ( x ) = - 1 x {displaystyle 0-{Afrac {d}{dx}}ln(x)=-{Afrac {1}{x}}}.

d d x ( log 10 ( x ) ) のようにe進数でない対数の導関数については{displaystyle {frac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} } のように底eでない対数の微分です。のように、これは次のように縮小できる。d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {displaystyle {} {}fracd}{dx}}log _{10}(x)={dfrac {d}{dx}}{frac {ln {x}}{ln {10}}}={frac {1}{ln {10}}}{frac {d}{dx}}ln {x}={frac {1}{xln(10)}} {d}{10}}のようになります。

三角関数

コサイン関数はサイン関数の微分であり、コサインの微分は負のサインである（ただし、xはラジアン単位である）。

d d x sin ( x ) = cos ( x ) {displaystyle {frac {d}{dx}} {sin(x)=Cos(x)} } }.

d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {displaystyle {frac {d}{dx}} {cos(x)=-sin(x)} } }.

d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {}displaystyle {}frac {d}{dx}}sec(x)=themesec(x)\tan(x)} .

誘導体の特性

デリバティブは、（上記の機能特性のうち1つしか持たないため）管理しやすいところで、例えば、分割することができる。

d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {displaystyle {frac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)} はこのように分割できる。

d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d d x ( 6 ) {}displaystyle {{frac {d}{dx}}(3x^{6})+{frac {d}{dx}}(x^{2})-{frac {d}{dx}}(6)}} {{frac #d}{dx}{dx}}(3x^{6})-{frac {d}{d}{dx}}(6)

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {displaystyle =6cdot 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {displaystyle =18x^{5}+2x}

誘導体の用途

関数の導関数は、その傾きがゼロになる場所を探すことで、関数の最大値や最小値を探すことができる。

微分は、関数のゼロ（根）を見つけるのに役立つニュートン法で使用されます。

微分は増減や凹凸を決定できる

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