数 r の n 番目の根（一般にラジカル、n乗根）とは、ある数 k を n 回掛け合わせると r になるような数のことです。つまり k がその根であるとは次が成り立つことを意味します。

k n = r {displaystyle k^{n}=r}。 {\displaystyle k^{n}=r}

表記と用語

n乗根は一般に次のように書きます（ラジカル記号を使った表記）。 r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}}の 表現。{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} また、n が 2 のときは 平方根、3 のときは 立方根 と呼びます。平方根の記号は特に頻繁に使われ、n を省略して √r と書くことが多いです。

例

例えば立方根の例：

8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}=2{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}} なぜなら 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8{\displaystyle 2^{3}=8}。

この例では 8 を ラジカンド（被開方数）、3 を インデックス（次数）、チェック形の部分を ラジカル記号（ラジカル符号） と呼びます。

有理指数（冪表示）との関係

根とべき乗は互いに変換できます。一般に次が成り立ちます（べき乗の意味については exponentiation を参照してください）。

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {displaystyle {\style {sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{frac {a}{b}}=({{sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}} {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}.

つまり、n乗根は指数を分数にしたもの x^{a/b} と同等に扱うことができます。この変換は式の操作や簡略化に非常に便利です。

基本的な性質（積・商）

ラジカル（特に偶指数の平方根など）には次のような性質があります（ただし定義域や符号に注意が必要です）。積に関する性質：

a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}}.

商に関する性質：

a b = a b b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{b}}}}}}={\frac {\sqrt {a}}{b}}}}}}}={\frac {\sqrt {a}}{b}} {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}.

定義域と符号に関する注意

  • 実数の場合（現実的な注意）：偶数の n（例えば 2, 4, ...）については、実数範囲での n 乗根は被開方数が 非負 である必要があります。つまり実数の平方根 √x は x ≥ 0 のときに実数です。負の数に対する偶数乗根は実数では存在しません（複素数では存在します）。
  • 主値（principal root）：平方根などでは通常、非負の値を主値として扱います。例えば √9 = 3（ただし方程式 x^2 = 9 の解は x = 3 と x = −3 の両方）。
  • 奇数の n（例えば 3）は負の被開方数に対しても実数の根が存在します（例：立方根 √[3]{−8} = −2）。
  • 等式の適用時の注意：積や商の性質（√{ab} = √a √b など）は、被開方数が非負（または必要な条件を満たす）場合に限定して安全に使えます。符号を無視して誤用すると間違った結果になります。

根の簡単化・計算のコツ

  • 因数分解して完全な n 乗の因子を外に出す： 例えば √72 = √(36·2) = 6√2（36 は 6^2 なので外に出る）。
  • 有理指数に変えて計算する： √[n]{x^a} = x^{a/n} としてべき乗の演算で扱うと簡単な場合が多い。
  • 分母の有理化：分数の分母に根がある場合は、分母を有理数にするために分子・分母に適切な因子を掛けます。例：1/√2 = √2/2。

応用と拡張

  • ラジカルは代数式の簡約、方程式の解法、解析、物理・工学の計算など広い分野で使われます。
  • 複素数まで拡張すると、方程式 z^n = r（r が複素数）の解は原点を中心とする半径 |r|^{1/n} の円周上に等間隔に配置された n 個の解になります（多価性）。実数での主値と複素での多価性の違いに注意してください。
  • 基本的な事実として、例えば √2 のような多くの平方根は無理数であるという性質も重要です（√2 は無理数）。

まとめ（ポイント）

  • n 乗根は「n 回掛けて元の数になる数」で、表記は {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}（上段の画像参照）。{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}
  • べき乗（有理指数）との変換 x^{a/b} = √[b]{x^a} が便利。{\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}}
  • 積・商の公式は条件付きで有効： √{ab} = √a·√b, √(a/b) = √a/√b（適切な定義域で）。{\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}}{\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}
  • 実数範囲では偶数根の被開方数は非負である必要があり、主値（非負）を取ることが一般的。