n乗根（ラジカル）とは：定義・表記・性質（平方根・立方根・有理指数）

n乗根（ラジカル）の定義・表記・性質を図解でやさしく解説。平方根・立方根や有理指数との関係、計算ルールと変形テクニックを例で紹介。

著者: Leandro Alegsa

14-01-2026 22:19

数 r の n 番目の根（一般にラジカル、n乗根）とは、ある数 k を n 回掛け合わせると r になるような数のことです。つまり k がその根であるとは次が成り立つことを意味します。

k n = r {displaystyle k^{n}=r}。 $k^{n}=r$

表記と用語

n乗根は一般に次のように書きます（ラジカル記号を使った表記）。 r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}}の表現。 ${\sqrt[{n}]{r}}$ また、n が 2 のときは 平方根、3 のときは 立方根 と呼びます。平方根の記号は特に頻繁に使われ、n を省略して √r と書くことが多いです。

例

例えば立方根の例：

8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}=2 ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ } なぜなら 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8 $2^{3}=8$ 。

この例では 8 を ラジカンド（被開方数）、3 を インデックス（次数）、チェック形の部分を ラジカル記号（ラジカル符号） と呼びます。

有理指数（冪表示）との関係

根とべき乗は互いに変換できます。一般に次が成り立ちます（べき乗の意味については exponentiation を参照してください）。

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {displaystyle {\style {sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{frac {a}{b}}=({{sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}} ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}$ .

つまり、n乗根は指数を分数にしたもの x^{a/b} と同等に扱うことができます。この変換は式の操作や簡略化に非常に便利です。

基本的な性質（積・商）

ラジカル（特に偶指数の平方根など）には次のような性質があります（ただし定義域や符号に注意が必要です）。積に関する性質：

a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ .

商に関する性質：

a b = a b b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{b}}}}}}={\frac {\sqrt {a}}{b}}}}}}}={\frac {\sqrt {a}}{b}} ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ .

定義域と符号に関する注意

実数の場合（現実的な注意）：偶数の n（例えば 2, 4, ...）については、実数範囲での n 乗根は被開方数が非負である必要があります。つまり実数の平方根 √x は x ≥ 0 のときに実数です。負の数に対する偶数乗根は実数では存在しません（複素数では存在します）。
主値（principal root）：平方根などでは通常、非負の値を主値として扱います。例えば √9 = 3（ただし方程式 x^2 = 9 の解は x = 3 と x = −3 の両方）。
奇数の n（例えば 3）は負の被開方数に対しても実数の根が存在します（例：立方根 √[3]{−8} = −2）。
等式の適用時の注意：積や商の性質（√{ab} = √a √b など）は、被開方数が非負（または必要な条件を満たす）場合に限定して安全に使えます。符号を無視して誤用すると間違った結果になります。

根の簡単化・計算のコツ

因数分解して完全な n 乗の因子を外に出す：例えば √72 = √(36·2) = 6√2（36 は 6^2 なので外に出る）。
有理指数に変えて計算する： √[n]{x^a} = x^{a/n} としてべき乗の演算で扱うと簡単な場合が多い。
分母の有理化：分数の分母に根がある場合は、分母を有理数にするために分子・分母に適切な因子を掛けます。例：1/√2 = √2/2。

応用と拡張

ラジカルは代数式の簡約、方程式の解法、解析、物理・工学の計算など広い分野で使われます。
複素数まで拡張すると、方程式 z^n = r（r が複素数）の解は原点を中心とする半径 |r|^{1/n} の円周上に等間隔に配置された n 個の解になります（多価性）。実数での主値と複素での多価性の違いに注意してください。
基本的な事実として、例えば √2 のような多くの平方根は無理数であるという性質も重要です（√2 は無理数）。

まとめ（ポイント）

n 乗根は「n 回掛けて元の数になる数」で、表記は {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}（上段の画像参照）。 ${\sqrt[{n}]{r}}$
べき乗（有理指数）との変換 x^{a/b} = √[b]{x^a} が便利。 ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}$
積・商の公式は条件付きで有効： √{ab} = √a·√b, √(a/b) = √a/√b（適切な定義域で）。 ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$
実数範囲では偶数根の被開方数は非負である必要があり、主値（非負）を取ることが一般的。

これは y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}}}のグラフです。 $y={\sqrt {x}}$ .平方根です。

これは y = x 3 {displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}}です。 $y={\sqrt[{3}]{x}}$ .立方根です。

簡素化

ラディカルを簡略化した例です。

8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 {\displaystyle {SQUART {8}}={SQUART {4Times 2}}}={\sqrt {4}times 2}}={\sqrt {4}times {2}=2{SQUART {2}}}}}}。 ${\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$

2つのラジカルが同じであれば、それらを組み合わせることができます。これは、インデックスとラジカルの両方が同じである場合です。

2 2 2 + 1 2 = 3 2 2 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}}}}}。 $2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}$

2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {displaystyle 2{sqlrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}}}}}}。 $2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}$

完全な二乗を求め、分母を合理化する方法です。

8 x x 3 = 8 x x x = 8 x x = 8 x × x x = 8 x x 2 = 8 x x x {displaystyle {\frac {8x}{{sqrt {x}^{3}}}}={frac {8{8{\cancel {x}}}}{{cancel {x}}{sqrt

質問と回答

Q:n進根とは何ですか?

A:ある数rのn番目の根とは、それ自体をn回かけるとrの数になる数のことです。

Q: n番目の根はどのように書かれるのですか?

A:数値rのn番目の根は、r^(1/n)と書かれます。

Q: 根の例にはどのようなものがありますか?

A:指数(n)が2であれば、根源式は平方根である。3であれば、立方根です。その他のnの値は、第4根、第10根など序数を用いて参照する。

Q: ラジカル式の積の性質は何を意味するのか?

A:ラジカル式の積の性質は、sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b)となります。

Q:ラジカル式の商の性質はどのようなものか?

A:ラジカル式の商特性は、sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)) (b != 0) となります。

Q: n進根には他にどんな用語があるか?

A: n番目の根は、ラジカルまたはラジカル式とも呼ばれます。

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