平方数（完全平方数）とは：定義・性質・例・公式
平方数（完全平方数）の定義・性質・具体例・公式を図解と演習でわかりやすく解説。平方根や判定法、応用問題まで基礎から学べる入門ガイド。
平方数は、時に完全平方とも呼ばれ、整数を自分自身に掛けた結果である。例えば 1、4、9、16、25 は最初の5つの平方数である。数式では、数nの2乗はn2（指数）と表記され、通常「nの二乗」や「n乗」と発音される。名称は正方形（辺の長さがnの正方形の面積がn2になること）に由来する。
平方数は非負の整数である。別の言い方をすれば、ある非負の数が平方数であるとは、その平方根が整数になることである。たとえば √9 = 3 なので 9 は平方数である。0 も 02 = 0 により平方数に含まれる。
基本的な性質
- 符号：任意の整数nについて、n2は必ず非負である。負の整数を二乗しても正の平方数と同じ値になる（例：(-3)2 = 32 = 9）。
- 連続する平方の差：(n+1)2 − n2 = 2n + 1。したがって平方数の差は奇数になる。
- 奇数の和としての表現：n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)。つまり平方数は最初の n 個の奇数の和である。
- 素因数分解による判定：整数 m の素因数分解を m = ∏ pie_i としたとき、m が平方数であるための必要かつ十分条件は全ての指数 e_i が偶数であることである。これにより平方数と平方因子・平方free（squarefree）な数の関係がわかる。
- 末尾の桁（10進法）：10進法で平方数の末尾に現れ得る数字は 0,1,4,5,6,9 のみである（2,3,7,8 は現れない）。
- 合同式による制約：平方数はいくつかの法に対して限られた余りしか取り得ない。例えば mod 3 では 0 または 1、mod 4 では 0 または 1、mod 8 では 0,1,4 のいずれかである。
代表的な公式と例
- 平方の展開： (n+1)2 = n2 + 2n + 1。
- 連続平方の和の公式（12+22+...+n2）： 12 + 22 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6。
- 小さな平方数の一覧（n → n2）：
- 0 → 0
- 1 → 1
- 2 → 4
- 3 → 9
- 4 → 16
- 5 → 25
- 6 → 36
- 7 → 49
- 8 → 64
- 9 → 81
- 10 → 100
平方数の判定と応用
- 判定方法：小さな数は平方根を取り整数かどうか確かめればよい。大きな数では素因数分解して全ての指数が偶数かを調べる方法が決定的である。効率重視ならば整数平方根を求めるアルゴリズム（例：ニュートン法やビット演算を用いる方法）で判定する。
- 応用：平方数の性質は数論（合同式、ディオファントス方程式）、代数（多項式の平方）、幾何（正方形の面積）、計算機科学（ハッシュ関数やRSAのような暗号理論の素因数分解問題の議論）など幅広く利用される。
以上の性質を組み合わせると、ある数が平方数であり得ないことを合同式で素早く示したり、平方数の列の増加や差分の規則性を利用して問題を解くことができる。
例
702 より小さい正方形（OEISでは配列A000290）である。
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
自然数が無限にあるように、平方数も無限にある。
プロパティ
数mは、m個の等しい（より少ない）正方形で正方形を構成できる場合にのみ、正方形数である。
| m = 12 = 1 |
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| m = 22 = 4 |
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| m = 32 = 9 |
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| m = 42 = 16 |
|
| m = 52 = 25 |
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| 注：マス目とマス目の間の白い隙間は、視覚的にわかりやすくするためだけのものです。 | |
一辺の長さがnの正方形は、面積がn 。 2
n番目の平方数の式は、n2 。これは、上の絵に見られるように、最初のn個の奇数の和にも等しく、奇数の点を加えることによって前のものから正方形が生じる（マゼンタで示される）。式は次のようになる。
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) .{displaystyle n^{2}=sum _{k=1}^{n}(2k-1).} 
つまり、例えば、52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 となるわけです。
平方数は，以下のように，10の底の0，1，4，6，9，25の数字で終わることだけが可能である。
- ある数の最後の桁が0である場合、その正方形は偶数の0で終わり（つまり少なくとも00）、終わりの0より前の桁も正方形を形成しなければならない。
- 数字の最後の桁が1または9の場合、その正方形は1で終わり、その前の桁で形成される数は、4で割り切れるものでなければなりません。
- 数字の最後の桁が2または8の場合、その正方形は4で終わり、前の桁は偶数でなければなりません。
- 数字の最後の桁が3または7の場合、その正方形は9で終わり、その前の桁で形成される数は、4で割り切れるものでなければなりません。
- 数字の最後の桁が4または6の場合、その正方形は6で終わり、前の桁は奇数でなければなりません。
- ある数の最後の桁が5である場合、その正方形は25で終わり、前の桁は0、2、06、56でなければなりません。
平方数は完全数にはなり得ない。
4乗、6乗、8乗などはすべて完全な正方形です。
特殊なケース
- m5（mは前の数字を表す）の場合、その2乗はn25（nはm×（m＋1）で、25より前の数字を表す）である。例えば65の2乗は、n＝6×（6＋1）＝42で計算でき、2乗は4225となる。
- m0（mは直前の数字を表す）の場合、その2乗はn00（n=m2 ）。例えば、70の2乗は4900です。
- 数字が2桁で5m（mは単位桁を表す）の形の場合、その2乗はAA＝25＋m、BB＝m2 。 例）。57の2乗を計算する場合、25＋7＝32、72 ＝49 となり、572 ＝3249 となる。
奇数・偶数の二乗数
(2n)2 = 4n2 ですから，偶数の2乗は偶数（実際には4で割り切れる）です．
奇数の2乗は、(2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1なので、奇数である。
偶数平方数の平方根は偶数であり、奇数平方数の平方根は奇数であることがわかる。
偶数平方数はすべて4で割り切れるので、4n + 2の形の偶数は平方数ではない。
奇数の平方数はすべて4n＋1という形になるため、4n＋3という形の奇数は平方数ではありません。
奇数の2乗は、(2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 で、n(n + 1) は偶数なので、8n + 1の形になる。
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