平方数
平方数は、時に完全平方とも呼ばれ、整数を自分自身に掛けた結果である。1、4、9、16、25は最初の5つの平方数である。数式では、数nの2乗はn2 (指数)と表記され、通常「n乗」と発音される。平方数という名前は、形状の名前に由来する；下記参照。
平方数は非負の数である。非負の）数が平方数であるという別の言い方は、その平方根が再び整数になることである。例えば、√9=3なので、9は平方数である。
例
702 より小さい正方形（OEISでは配列A000290）である。
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
自然数が無限にあるように、平方数も無限にある。
プロパティ
数mは、m個の等しい（より少ない）正方形で正方形を構成できる場合にのみ、正方形数である。
| m = 12 = 1 |
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| m = 22 = 4 |
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| m = 32 = 9 |
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| m = 42 = 16 |
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| m = 52 = 25 |
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| 注：マス目とマス目の間の白い隙間は、視覚的にわかりやすくするためだけのものです。 | |
一辺の長さがnの正方形は、面積がn 。 2
n番目の平方数の式は、n2 。これは、上の絵に見られるように、最初のn個の奇数の和にも等しく、奇数の点を加えることによって前のものから正方形が生じる（マゼンタで示される）。式は次のようになる。
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) .{displaystyle n^{2}=sum _{k=1}^{n}(2k-1).} 
つまり、例えば、52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 となるわけです。
平方数は，以下のように，10の底の0，1，4，6，9，25の数字で終わることだけが可能である。
- ある数の最後の桁が0である場合、その正方形は偶数の0で終わり（つまり少なくとも00）、終わりの0より前の桁も正方形を形成しなければならない。
- 数字の最後の桁が1または9の場合、その正方形は1で終わり、その前の桁で形成される数は、4で割り切れるものでなければなりません。
- 数字の最後の桁が2または8の場合、その正方形は4で終わり、前の桁は偶数でなければなりません。
- 数字の最後の桁が3または7の場合、その正方形は9で終わり、その前の桁で形成される数は、4で割り切れるものでなければなりません。
- 数字の最後の桁が4または6の場合、その正方形は6で終わり、前の桁は奇数でなければなりません。
- ある数の最後の桁が5である場合、その正方形は25で終わり、前の桁は0、2、06、56でなければなりません。
平方数は完全数にはなり得ない。
4乗、6乗、8乗などはすべて完全な正方形です。
特殊なケース
- m5（mは前の数字を表す）の場合、その2乗はn25（nはm×（m＋1）で、25より前の数字を表す）である。例えば65の2乗は、n＝6×（6＋1）＝42で計算でき、2乗は4225となる。
- m0（mは直前の数字を表す）の場合、その2乗はn00（n=m2 ）。例えば、70の2乗は4900です。
- 数字が2桁で5m（mは単位桁を表す）の形の場合、その2乗はAA＝25＋m、BB＝m2 。 例）。57の2乗を計算する場合、25＋7＝32、72 ＝49 となり、572 ＝3249 となる。
奇数・偶数の二乗数
(2n)2 = 4n2 ですから，偶数の2乗は偶数（実際には4で割り切れる）です．
奇数の2乗は、(2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1なので、奇数である。
偶数平方数の平方根は偶数であり、奇数平方数の平方根は奇数であることがわかる。
偶数平方数はすべて4で割り切れるので、4n + 2の形の偶数は平方数ではない。
奇数の平方数はすべて4n＋1という形になるため、4n＋3という形の奇数は平方数ではありません。
奇数の2乗は、(2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 で、n(n + 1) は偶数なので、8n + 1の形になる。
