零ベクトル（ゼロベクトル）：定義・性質と線形代数における役割

定義と基本的性質

形式的には、零ベクトルとはベクトル空間 V の要素 0 であり、V のすべてのベクトル v に対して v + 0 = v を満たすものである。ベクトル空間の公理から、この要素は一意に定まる。n次元座標空間のような座標による表現では、零ベクトルのすべての成分はスカラーのゼロに等しい。

• 一意性：すべての v に対して v + w = v を満たす w があれば、w = 0 である。
• 任意のスカラー c とベクトル v について、c·0 = 0 および 0·v = 0 が成り立つ。後者は、スカラーのゼロに v を掛けた結果が零ベクトルであることを意味する。
• v = -v を満たす唯一のベクトルは零ベクトルである。加法逆元は v + (-v) = 0 を満たす。

例と具体例

代表的な例には、R^n におけるベクトル (0,0,...,0)、関数空間における零関数（すべての引数で値がゼロとなる関数）、および行列空間における零行列がある。これらの具体例は、線形方程式を解く場合や、ベクトルの集合が特定の性質を満たすかを確認する場合に用いられる。

線形独立・基底・核における役割

零ベクトルは線形独立の定義の中心となる。ベクトル v1,...,vk が線形独立であるとは、a1v1 + ... + akvk = 0 を満たすスカラー a1,...,ak がすべてゼロである場合に限ることをいう。ベクトル空間の基底は、その空間を張る線形独立な集合である。零ベクトルを含む集合は線形従属となるため、零ベクトルは基底の要素にはなれない。線形写像の核、すなわち零空間は、零ベクトルへ写されるすべてのベクトルからなり、その写像が単射からどの程度離れているかを示す尺度となる。

証明と計算での利用

多くの標準的な証明では、等式の目標として零ベクトルが便利に用いられる。例えば、ある線形結合が零ベクトルに等しいことは、しばしば線形従属を示す。加法逆元の一意性、和における消去法則、ならびに c·0 = 0 を導く分配法則などの性質は、ベクトル空間の公理から直接従い、議論で繰り返し使われる。

注記と区別

表記は重なるが、スカラーの 0 と零ベクトルは異なる。前者は基礎となる体の数であり、後者はベクトル空間の要素である。文脈と型によって区別され、V において 0 と書くとき、それは V の零ベクトルを表す。この概念は任意の体上のベクトル空間にも拡張される。スカラーが実数、複素数、あるいは別の体の要素であっても、すべての v に対する v + 0 = v という同じ定義的性質が零ベクトルを特徴付ける。

要約。零ベクトルは基本的でありながら、線形代数に不可欠な要素である。すべてのベクトル空間で加法の単位元として機能し、線形独立や核の定義に現れ、理論と計算の双方で用いられる線形結合や方程式の到達点となることが多い。