分子（数学）

定義と基本的性質

分子は任意の数または式になりうる。すなわち、整数、有理数、実数、複素数、多項式、その他の代数式である。分母が0でない限り、分子が0であれば分数全体は0となる。0による除算は定義されないため、分母が0で分子が0でない分数は、標準的な算術では値をもたない。分子は正でも負でもよい。負号は分子の前、分母の前、または分数全体の前に置かれるのが一般的であるが、簡単にすれば意味は同じである。

算術と簡約における役割

分数の演算では、分子の扱いは演算の種類によって異なる。乗算では分子どうし、分母どうしをそれぞれ掛ける。除算では第2の分数を逆数にするため、その分子は分母となり、分母は分子となる。加算と減算では分数の分母を共通にする必要があり、その後に分子を加減し、共通分母はそのまま保つ。約分または相殺では、分子と分母の両方に現れる共通因子を取り除く。通常は両方を最大公約数で割り、分子がより小さい同値な分数を得る。

例と種類

• 真分数：分子が分母より小さい分数（例：3/5）。
• 仮分数：分子が分母以上である分数（例：7/4）。多くの場合、帯分数に変換できる。
• 分子が0の場合：0/7 = 0は有効であるが、0/0は不定である。
• 代数的な分子：(x^2-1)/(x+1)のような式は、定義域に関する条件が許す場合、分子を因数分解し、分母と部分的に相殺できることを示す。

代数的・発展的な文脈

記号数学では、分子は多項式、有理関数、行列要素、またはその他の対象でありうる。分子と分母の間で因子を相殺することが代数的に有効なのは、考慮している変数の値についてその因子が0でない場合に限られるため、定義域の制限を保つ注意が必要である。微積分学および解析学では、分子と分母の増大率を比較することが、有理関数の極限を決定する助けとなる。コンピュータ上の表現や組版では、表記の慣例に応じて、分子は上付き風に、または斜線の左側に表示されることがある。

歴史、用語と注目すべき事項

英語の「numerator」は、数や数え上げに関係するラテン語の語根に由来する。一つの量を別の量の上に置いて除算を表す役割は、多くの数学的伝統で用いられてきた。現在の横線および斜線による表記は、印刷と代数的実践の発展とともに徐々に成立した。教育では、分子はしばしば、分母が名づける等しい部分のうち「いくつ」を表すものとして強調される。これは物理量の分数を理解するうえで有用な解釈である。さらに基本的な定義については、実数や関連する主題の資料を参照。